在數學上，半指數函數（Half-exponential function）是指數函數的；換句話說，若f是一個半指數函數，則f與自己的複合函數會是一個指數函數：
f\bigl(f(x)\bigr) = ab^x,
其中是常數。
解析解的不存在性
假若以加減乘除等標準算數運算、指數、對數及實數常數等來表達一個函數f，那麼f\bigl(f(x)\bigr)要不就是次指數的，要不就是超指數的，因此不可能是半指數函數。
建構
有無限多的函數，其半複合函數是與彼此相同的指數函數；特別地，對於任意位於開區間(0,1)當中的數A及任意從[0,A]映至[A,1]的嚴格遞增满射連續函数g而言，都存在作為這函數擴張的嚴格遞增連續實數函數f，使得，而這f是以下函數方程的唯一解：
f (x) =
\begin{cases}
g (x) & \mbox{if } x \in [0,A], \\
\exp g^{-1} (x) & \mbox{if } x \in (A,1], \\
\exp f ( \ln x) & \mbox{if } x \in (1,\infty), \\
\ln f ( \exp x) & \mbox{if } x \in (-\infty,0). \\
\end{cases}
一個簡單的、使得f處處有連續一階導數例子，是設A=\tfrac12且g(x)=x+\tfrac12，而這會得到下式：
f (x) =
\begin{cases}
\log_e\left(e^x +\tfrac12\right) & \mbox{if } x \le -\log_e 2, \\
e^x - \tfrac12 & \mbox{if } -\log_e 2 \le x \le 0, \\
x +\tfrac12 & \mbox{if } 0 \le x \le \tfrac12, \\
e^{x-1/2} & \mbox{if } \tfrac12 \le x \le 1 , \\
x \sqrt{e} & \mbox{if } 1 \le x \le \sqrt{e} , \\
e^{x / \sqrt{e}} & \mbox{if } \sqrt{e} \le x \le e , \\
x^{\sqrt{e}} & \mbox{if } e \le x \le e^{\sqrt{e}} , \\
e^{x^{1/\sqrt{e}}} & \mbox{if } e^{\sqrt{e}} \le x \le e^e , \ldots\\
\end{cases}
應用
半指數函數出現於計算複雜性理論當中，在其中半指數成長率是介於多項式成長率與指數成長率「之間」的一種成長速率。若一個函數f的成長率至少與半指數函數一樣快（也就是這函數與自身的複合函數的成長率是指數函數），就表示說這函數是非遞減的，且對於任意C>0而言，有f^{-1}(x^C)=o(\log x)。
參見
*迭代函數
*
*
參考資料
外部連結
- [https://mathoverflow.net/q/12081 Does the exponential function have a (compositional) square root?]
- [https://mathoverflow.net/q/45477 “Closed-form” functions with half-exponential growth]
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