平面波

在三維空間裏，平面波（plane wave）是一種波動，其波阵面（在任何時刻，波相位相等的每一點所形成的曲面）是相互平行的平面。平面波的傳播方向垂直於波前。假若平面波的振幅不是常數，例如，振幅是位置的函數，則稱此種平面波為「非均勻平面波」。

加以延伸，平面波這術語時常用來形容，在空間的一個局部區域裏，近似於平面波的波動。例如，一個局部區域波源，像發射無線電波的天線，所發射出的電磁波，在可以近似為平面波。等價地說，對於在一個均勻介質內，波的傳播距離超長於波長的案例，在幾何光學的正確極限內，射線區域性地對應於近似平面波。

數學表述
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用數學來表述，波動方程式為
:\nabla^2 f - \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 f}{\partial t^2}=0 ；

其中，f(\mathbf{x},t) 是描述波動的函數，\nabla^2 是拉普拉斯算符，v 是波動傳播的速度，\mathbf{x} 是位置，t 是時間。

描述平面波的函數 \tilde{\psi}(\mathbf{x},t) 是波動方程式的一種解答：
:\nabla^2 \tilde{\psi} - \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \tilde{\psi}}{\partial t^2}=0 。

平面波 \tilde{\psi}(\mathbf{x},t) 的形式為：
:\tilde{\psi}(\mathbf{x},t) = \tilde{A} e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x} - \omega t)} ；

其中，i 是虛數單位，\mathbf{k} 是波向量，\omega=kv 是角頻率，\tilde{A} 是複值的振幅純量。

取複函數的實部，則可以得到其物理意義。
:\operatorname{Re}\{\tilde{\psi}(\mathbf{x},t)\} = |\tilde{A}| \cos (\mathbf{k}\cdot\mathbf{x} - \omega t + \arg \tilde{A}) 。

注意到在任意時刻 t=t_0 ，波相位不變的曲面滿足方程式
:\mathbf{k}\cdot\mathbf{x} - \omega t_0 + \arg \tilde{A}=c_1 ，

或者，
:\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}=c_2 ；

其中，c_1 、c_2 是任意常數。

所有滿足這方程式的 \mathbf{x} 形成一個與 \mathbf{k} 相互垂直的平面，平行波的波前就是這種平面，所有的波前都與 \mathbf{k} 相互垂直，都相互平行。

對於向量的波動方程式，像描述在彈性固體內的機械波或電磁波的波動方程式：
:\nabla^2 \mathbf{E} - \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}=0 ，
:\nabla^2 \mathbf{B} - \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}=0 ；

其中，\mathbf{E} 是電場，\mathbf{B} 是磁場;

解答也很類似：
:\tilde{\boldsymbol{\psi}}(\mathbf{x},\ t)=\tilde{\mathbf{A}}e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x} - \omega t)} ；

其中，\tilde{\mathbf{A}} 是複值的振幅向量。

横波的振幅向量垂直於波向量，像傳播於均向性介質的電磁波。縱波的振幅向量平行於波向量，像傳播於氣體或液體的聲波。

傳播於某介質內，角頻率與波向量之間的關係，可以以函數 \omega(\mathbf{k}) 表達，稱為介質的色散關係。對於這介質，波的相速度是
:v_p=\omega/k ，

群速度是
:v_g=\frac{\partial \omega}{\partial \mathbf{k}} 。

参阅

• 波动方程

參考文獻

• J. D. Jackson, Classical Electrodynamics (Wiley: New York, 1998 )。

Монохроматическая волна