量子態

儀器的磁場方向為z-軸，入射的銀原子束可以被分裂成兩道銀原子束，每一道銀原子束代表一種量子態，上旋\left\vert \uparrow \right\rangle或下旋\left\vert \downarrow \right\rangle。]]
在量子力學裏，量子態（）指的是量子系統的狀態。態向量可以用來抽象地表示量子態。例如，使用z-軸方向的斯特恩-革拉赫實驗儀器，如右圖所示，可以將入射的銀原子束，依照自旋的z-分量S_z分裂成兩道，一道的S_z為上旋，量子態為\left\vert \uparrow \right\rangle或\left\vert z+ \right\rangle，另一道的S_z為下旋，量子態為\left\vert \downarrow \right\rangle或\left\vert z- \right\rangle，這樣，可以製備成量子態為\left\vert \uparrow \right\rangle的銀原子束，或量子態為\left\vert \downarrow \right\rangle的銀原子束。

在量子系統裏，量子態可以從一系列製備程序來辨認，即這程序所製成的量子系統擁有這量子態。例如，使用z-軸方向的斯特恩-革拉赫實驗儀器，可以將入射的銀原子束，依照自旋的z-分量S_z分裂成兩道，一道的S_z為上旋，量子態為\left\vert \uparrow \right\rangle或\left\vert z+ \right\rangle，另一道的S_z為下旋，量子態為\left\vert \downarrow \right\rangle或\left\vert z- \right\rangle。又例如，假若等待足夠長久時間，就可以使得量子系統衰變至基態，前提是從激發態只能朝著無窮遠發射出能量，永遠不會反射回來。這樣，就可以製備出基態。

量子力學形式論
量子物理通常使用線性代數來做數學表述。每一種量子系統都有其對應的希爾伯特空間，其量子態都可以用對應的希爾伯特空間裏的向量來表現，這向量稱為態向量。假若，某態向量是另外一個態向量的純量倍數，則這兩個態向量都對應於同樣的量子態。因此，態向量的範數不具有物理意義，只有方向具有物理意義。

假若將態向量歸一化，所有態向量的範數都等於1，則所有態向量的集合是希爾伯特空間的單位球。假若，兩個歸一化態向量的唯一不同之處是它們的相位因子，則這兩個態向量代表同樣的量子態。

狄拉克標記
在量子力學裏，數學運算時常用到線性算符、內積、對偶空間與厄米共軛等概念。為了讓運算更加簡易、更加抽象，為了讓使用者不需要選擇表現空間，保羅·狄拉克發明了狄拉克標記。這種標記法能夠精準地表示各種各樣的量子態與其相關運算，簡略表述如下：

• 向量的標記形式為|\psi\rangle；其中\psi可以是任何符號，字母，數字，或單字。這與一般的數學標記形式顯然地不同；通常，向量是以粗體字母，或者在上方加了一個矢號的字母來標記。
• 稱向量為「右矢」。
• 對於每一個右矢|\psi\rangle，都獨特地存在一個對應的左矢\langle\psi|，左矢與右矢指的是同一個量子態。在數學裏，左矢與右矢分別是彼此的厄米共軛，左矢屬於另外一個希爾伯特空間，稱為對偶空間。假設右矢|\psi\rangle的維度為有限值，則可以將右矢寫為豎排，左矢寫為橫排；取右矢的厄米共軛（即取轉置運算加上共軛複數運算），就可以得到左矢。
• 左矢\lang\phi|與右矢|\psi\rangle的內積，可以寫為\lang \phi|\psi\rang。這內積的物理意義為量子態|\psi\rangle處於量子態|\phi\rangle的機率幅。

:\lang e_i |e_j\rang=\delta_{ij}；

其中，\delta_{ij}是克羅內克函數。

描述這量子系統的量子態|\psi\rang，可以用這基底表示為
:|\psi\rang=\sum_i \ c_i|e_i\rang ；

其中，c_i=\lang e_i |\psi \rang是複係數，是量子態|\psi\rang處於量子態|e_i\rangle的機率幅。

重複地做很多次同樣的實驗，在每次實驗裏，量子系統的量子態都設定為|\psi\rang，則對於每一個量子系統的可觀察量O做測量，可能得到的結果是各種本徵態|e_i\rang的本徵值O_i，獲得這些不同結果的次數具有機率性，可以表達為機率分佈，結果為O_i的機率是|c_i|^2。

假設測量的結果是本徵值O_i，則可以推斷測量後的量子態是本徵態|e_i\rang。假若立刻再測量可觀察量O，由於量子態仍舊是本徵態|e_i\rang，所得到的測量值是本徵值O_i的機率為1，量子態|\psi\rang是「確定態」。

設想另一種可觀察量R，其對應的算符\hat{R}與算符\hat{O}的對易關係為
:[\hat{R},\hat{O}]\ne 0，

稱這兩種可觀察量為不相容可觀察量。假若立刻再對本徵態|e_i\rang測量可觀察量R，則又會得到統計性的答案。

單粒子系統的基底量子態
離散案例
假設，某量子系統的可觀察量標記為O，其對應的量子算符\hat{O}，可能有很多不同的本徵值O_i與對應的本徵態|e_i\rang，這些本徵態|e_i\rang,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots，形成了具有正交歸一性的基底。描述這量子系統的量子態|\psi\rang，可以用這基底的本徵態表示為
:|\psi\rang=\sum_i \ c_i|e_i\rang ；

其中，c_i=\lang e_i |\psi \rang是複係數，是量子態|\psi\rang處於量子態|e_i\rangle的機率幅。

c_i是|\psi\rang與|{e_i}\rang的內積：
:c_i=\lang {e_i} | \psi \rang。

因此，|\psi\rang可以表示為
:| \psi \rang = \sum_i |e_i\rangle\lang {e_i} | \psi \rang。

定義投影算符\hat{\Lambda}_i為
:\hat{\Lambda}_i\ \stackrel{def}{=}\ |e_i\rangle\lang {e_i} |。

投影算符\hat{\Lambda}_i作用於量子態，投射出平行於|{e_i}\rang的部分：
:\hat{\Lambda}_i | \psi \rang=|{e_i}\rang\lang {e_i} | \psi \rang=c_i|{e_i}\rang。

量子態|\psi\rang是所有投影部分的總和：
:| \psi \rang = \sum_i|{e_i}\rang\lang {e_i} | \psi \rang= \sum_i\hat{\Lambda}_i| \psi \rangle；

由於量子態|\psi\rang可以是任意量子態，因此，基底量子態具有閉包性，或完備性：
:\sum_i\hat{\Lambda}_i =\sum_i |e_i\rangle\lang {e_i} | =1；

其中，在公式最右邊的1代表單位算符。

由於這基底滿足正交歸一性，
:\lang\psi|\psi\rang=\sum_i |c_i|^2 = 1。

連續案例
位置x是一種連續的可觀察量，具有連續的本徵值譜：
:\hat{x}|x\rang =x|x\rang；

其中，\hat{x}是對應於可觀察量x的算符，|x\rang是本徵值為x的連續本徵態。

對於這連續本徵態|x\rang所組成的基底，必須將前一節提到的離散和，加以修改為積分：
:| \psi \rang = \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x\ |x\rang\lang x|\psi\rang。

又必須將克羅內克函數改變為狄拉克δ函數：
:\lang x|x' \rang =\delta(x-x')。

由於量子態|\psi\rang可以是任意量子態，因此，連續基底量子態具有閉包性，或完備性：
:\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x\ |x\rang\lang x|=1。

由於這基底滿足正交歸一性，
:\lang\psi|\psi\rang=\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x\ \lang\psi|x'\rang\lang x'|x\rang \lang x|\psi\rang
=\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x\ \delta(x-x')\lang\psi|x'\rang \lang x|\psi\rang=\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x\ |\lang x|\psi\rang|^2=1。

從這方程式，可以推論 |\lang x|\psi\rang|^2\mathrm{d}x是粒子處於位置x與x+\mathrm{d}x之間的機率。

內積\lang x|\psi\rang就是波動力學的波函數\psi(x)：
:\psi(x)\ \stackrel{def}{=}\ \lang x|\psi\rang。

態疊加原理
，照射在一座有兩條狹縫b與c的不透明擋牆S2。在擋牆的後面，設立了一個照相底片或某種偵測屏障F，用來紀錄到達F的任何位置d的光波數據。最右邊黑白相間的條紋，顯示出光波在偵測屏障F的干涉圖樣]]
假設某量子系統的量子態可能是|\alpha\rangle或|\beta\rangle這兩個不同的歸一化量子態，則這量子系統也可能處於它們線性疊加而成的量子態c_\alpha|\alpha\rang+c_\beta|\beta\rang（可能尚未歸一化）。假設\theta為實數，則雖然量子態e^{i\theta}|\beta\rang與|\beta\rang對應於同樣的量子態，他們並無法互相替換。例如，|\alpha\rang+|\beta\rang和|\alpha\rang+e^{i\theta}|\beta\rang是兩個不同的量子態。但是，|\alpha\rang+|\beta\rang和e^{i\theta}(|\alpha\rang+|\beta\rang)對應於同一個量子態。因此可以這樣說，整體的相位因子並不具有物理意義，但相對的相位因子具有重要的物理意義。

例如，在雙縫實驗裏，光子的量子態是兩個不同量子態的疊加。其中一個量子態是通過狹縫b。另外一個量子態是通過狹縫c。光子抵達偵測屏障的位置d，這位置離開兩條狹縫的距離之差值bd-cd，與兩個量子態的相對相位有關。由於這相對相位，在偵測屏障的某些位置，會造成相长干涉，在另外一些位置，會造成相消干涉。

再舉一個例子，拉比振動，可以顯示出相對相位在量子態疊加中的重要性。這是一個雙態系統，兩個本徵態的本徵能級不一樣。那麼，因為態疊加的相對相位隨著時間而改變，疊加後的量子態會反復不停地振動於兩個本徵態。

參閱

• 量子諧振子
• 定態
• 激發態

註釋
參考文獻