升餘弦濾波器是一種經常用於數位調變的濾波器，它能夠最大限度地減少（ISI）。之所以會如此命名是因為，該濾波器的最簡形式頻譜（\beta = 1 ）的非零部分為餘弦函數，且被「抬升」至水平軸f上方。
數學描述
升餘弦濾波器是一種低通的實作，即具有殘對稱性的濾波器，這表示它的頻譜呈現约\frac{1}{2T}的奇對稱，T是通訊系统的符元週期。
其頻域描述為分段定義传递函数，由下式給出：
: H(f) = \begin{cases}
1,
& |f| \leq \frac{1 - \beta}{2T} \\
\frac{1}{2}\left[1 + \cos\left(\frac{\pi T}{\beta}\left[|f| - \frac{1 - \beta}{2T}\right]\right)\right],
& \frac{1 - \beta}{2T}
或以餘的半正矢表示：
: H(f) = \begin{cases}
1,
& |f| \leq \frac{1 - \beta}{2T} \\
\operatorname{hvc}\left(\frac{\pi T}{\beta}\left[|f| - \frac{1 - \beta}{2T}\right]\right),
& \frac{1 - \beta}{2T}
: 0 \leq \beta \leq 1
以兩個值為特徵；滾降係數 \beta 和符元率的倒數T 。
這種濾波器的脈衝響應由下式给出：
: h(t) = \begin{cases}
\frac{\pi}{4T} \operatorname{sinc}\left(\frac{1}{2\beta}\right),
& t = \pm\frac{T}{2\beta} \\
\frac{1}{T}\operatorname{sinc}\left(\frac{t}{T}\right)\frac{\cos\left(\frac{\pi\beta t}{T}\right)}{1 - \left(\frac{2\beta t}{T}\right)^2},
& \text{otherwise}
\end{cases}
以歸一化的sinc函數表示。這裡使用的是通訊領域的定義 \sin(\pi x)/(\pi x ) ，而非數學領域所用的定義。
滾降係數
係數\beta是對濾波器带宽過量（excess bandwidth）的度量，即所佔带宽超過奈奎斯特頻寬\frac{1}{2T}的部分，有些作者會使用\alpha 表示.
若我們將多餘的頻寬表示為\Delta f ，則：
: \beta = \frac{\Delta f}{\left(\frac{1}{2T}\right)} = \frac{\Delta f}{R_S/2} = 2T\,\Delta f
R_S = \frac{1}{T}是符元率。
該圖顯示為\beta在0和1之間變化的振幅響應，以及對脈衝響應的相應作用。可以看出，時域的漣波準位會隨著\beta減少而增加，這可以減少濾波器的頻寛過量，但只能以伸長脈衝響應為代價。
\beta = 0
當\beta靠近0時，滾降區變得無限窄，因此：
: \lim_{\beta \rightarrow 0}H(f) = \operatorname{rect}(fT)
\operatorname{rect}(\cdot)是矩形函數，所以脈衝響應會趨近h(t)=\frac{1}{T}\operatorname{sinc}\left(\frac{t}{T}\right) .因此，在這種情況下，它會收斂到理想或磚牆濾波器。
\beta = 1
當\beta = 1 ，頻譜的非零部分是純粹的升餘弦，可化簡為：
: H(f)|_{\beta=1} = \left \{ \begin{matrix}
\frac{1}{2}\left[1 + \cos\left(\pi fT\right)\right],
& |f| \leq \frac{1}{T} \\
0,
& \text{otherwise}
\end{matrix} \right.
或
: H(f)|_{\beta=1} = \left \{ \begin{matrix}
\operatorname{hvc}\left(\pi fT\right),
& |f| \leq \frac{1}{T} \\
0,
& \text{otherwise}
\end{matrix} \right.
頻寬
升餘弦濾波器的頻寬通常定義為其頻譜的非零正頻率部分的寬度，即：
: BW = \frac{R_S}{2}(\beta+1),\quad(0
自相關函數
升餘弦函數的自相關函數如下：
: R\left(\tau\right) = T \left[\operatorname{sinc}\left( \frac{\tau}{T} \right) \frac{\cos\left( \beta \frac{\pi \tau}{T} \right)}{1 - \left( \frac{2 \beta \tau}{T} \right)^2} - \frac{\beta}{4} \operatorname{sinc}\left(\beta \frac{\tau}{T} \right) \frac{\cos\left( \frac{\pi \tau}{T} \right)}{1 - \left( \frac{\beta \tau}{T} \right)^2} \right]
自相關分析可用於分析各種取樣偏移量結果。
應用
當用於過濾符元流時，奈奎斯特濾波器具有消除 ISI 的特性，因為除了n = 0 的情形之外，所有nT （n是整數）的脈衝響應都是零。
因此，如果傳輸的波形在接收端被正確採樣，原本的符元值就可以完全恢復。
然而，在許多實際的通訊系統，由於受白雜訊之影響，會在接收器中使用匹配濾波器。對於零 ISI，發射和接收濾波器的淨響應必須等於H(f) ：
: H_R(f)\cdot H_T(f) = H(f)
因此：
: |H_R(f)| = |H_T(f)| = \sqrt
這些濾波器稱為。
升餘弦是一種常用於的變跡濾波器。
參考文獻
- Glover, I.; Grant, P. (2004). Digital Communications (2nd ed.). Pearson Education Ltd. .
- Proakis, J. (1995). Digital Communications (3rd ed.). McGraw-Hill Inc. ISBN 0-07-113814-5.
- Tavares, L.M.; Tavares G.N. (1998) Comments on "Performance of Asynchronous Band-Limited DS/SSMA Systems" . IEICE Trans. Commun., Vol. E81-B, No. 9
外部連結
- [https://www.nonstopsystems.com/radio/pdf-hell/article-raised-cosine.pdf Technical article entitled "The care and feeding of digital, pulse-shaping filters"] originally published in RF Design, written by Ken Gentile.
评论 (0)