電荷泵鎖相迴路（Charge-pump phase-locked loop）簡稱CP-PLL，是一種鉴相器適用於方波輸入信號的鎖相迴路。CP-PLL可以快速的鎖定到輸入信號的相位，可以達到很低的穩態相位誤差。
鉴相器（PFD）
鉴相器（PFD）是由參考信號（Ref）以及受控輸出（VCO）信號的下緣所觸發。PFD i(t)的輸出信號只有三個狀態：0, +I_p,和-I_p。
參考信號的下緣會使PFD切換到較高的狀態，若PFD已經在+I_p就不會變動。
VCO信號的下緣會使PFD切換到較低的狀態，若PFD已經在-I_p就不會變動。
若二個信號的下緣同時出現，PFD會切換到0。
CP-PLL的數學模型
第一個二階CP-PLL的數學模型是由在1980年提出的，N. Kuznetsov等人在2019年優化該模型。也有學者在推導考慮VCO過載的CP-PLL解析解數學模型。
CP-PLL的數學模型可以針對一些參數進行解析的預估，例如hold-in範圍（在VCO沒有過載的情形下，可能進行鎖相的輸入信號頻率範圍），及捕獲範圍（pull-in range，在CP-PLL任意初始狀態下，CP-PLL最終可以鎖相的輸入信號頻率範圍）：為了要達到無限大的捕獲範圍，CP-PLL的迴路濾波器需要使用主動濾波器（Fahim-Egan在type II CP-PLL捕獲範圍的猜想）。
二階CP-PLL的連續時間非線性模型
為了簡化推導，但不失去通用性，假設VCO和參考信號在其相位為整數時為其下降緣。
令參考信號第一個下降緣的時間為t = 0。
PFD狀態i(0)會依PFD的初始狀態i(0-)，VCO的初始相位移\theta_{vco}(0)，以及參考信號\theta_{ref}(0)的值而不同。
若利用電阻和電容製作純PI（比例積分）的濾波器，其輸入電流i(t)和輸出電壓v_F(t)的關係為
:
\begin{align}
v_F(t) = v_c(0) + Ri(t) + \frac{1}{C}\int\limits_0^t i(\tau)d\tau
\end{align}
其中R>0是電阻，C>0是電感。
v_c(t)是電容器的電壓。
控制信號v_F(t)會調整VCO頻率：
:
\begin{align}
\dot\theta_{vco}(t) =
\omega_{vco}(t) =
\omega_{vco}^{\text{free}} + K_{vco}v_F(t),
\end{align}
其中\omega_{vco}^{\text{free}}是VCO的自由運行頻率
（也就是v_F(t)\equiv 0)，K_{vco}是VCO增益（靈敏度）、\theta_{vco}(t)是VCO相位。
最後，CP-PLL連續時間非線性數學模型如下
:
\begin{align}
\dot v_c(t) = \tfrac{1}{C}i(t), \quad
\dot\theta_{vco}(t) =
\omega_{vco}^{\text{free}} + K_{vco}
(
Ri(t)
- v_c(t)
)
\end{align}
其中有以下的不連續分段常數非線性
:
i(t) = i\big(i(t-), \theta_{ref}(t), \theta_{vco}(t)\big)
初始條件為\big(v_c(0), \theta_{vco}(0)\big).
此模型是非線性、非自主式、不連續的開關系統。
二階CP-PLL的離散時間非線性模型
假設參考信號頻率為常數:
\theta_{ref}(t) = \omega_{ref}t = \frac{t}{T_{ref}},
其中T_{ref}、\omega_{ref}和\theta_{ref}(t)是參考資料的週期、頻率和相位。
令t_0 = 0，
這表示t_0^{\rm middle}是第一個PFD輸出為0的時間
（若i(0)=0，則t_0^{\rm middle}=0）
且t_1是VCO或參考信號的第一個下降緣。
其且，可以定義對應的遞減數列\{t_k\}、\{t_k^{\rm middle}\}，其中k=0,1,2...。
令t_k .
則在t \in [t_k,t_k^{\rm middle})時，\text{sign}(i(t))是非零的常數（\pm1）。
令\tau_k為PFD脈波寬度（PFD輸出為非零長度的時間區間）乘以PFD輸出的正負號：
: \tau_k = (t_k^{\rm middle} - t_k)\text{sign}(i(t)) for t \in [t_k,t_k^{\rm middle})
: \tau_k = 0 for t_k=t_k^{\rm middle}
若VCO的下降緣在參考信號的下降緣之前，則\tau_k ，反之，可得\tau_k > 0。\tau_k可以看出二個信號下降緣的先後順序。在(t_k^{\rm middle},t_{k+1})區間內，PFD輸出為零，PFD i(t) \equiv 0：
: v_F(t) \equiv v_k for t \in [t_k^{\rm middle},t_{k+1}) .
將(\tau_k,v_k)變成下式的變數變換
p_k = \frac{\tau_k}{T_{\rm ref}},
u_k=T_{\rm ref}
(
\omega_{\rm vco}^{\text{free}} + K_{\rm vco}v_k
) - 1,
可以讓參數減至二個：
\alpha = K_{\rm vco}I_pT_{\rm ref}R,
\beta = \frac{K_{\rm vco}I_pT_{\rm ref}^2}{2C}.
此處p_k是正規化的相位偏移，u_k+1是VCO頻率 \omega_{\rm vco}^{\text{free}} + K_{\rm vco}v_k相對於參考頻率\frac{1}{T_{\rm ref}}的比例。
最後，不考慮VCO過載的二階CP-PLL離散時間模型如下
:
\begin{align}
& u_{k+1} = u_k +2\beta p_{k+1},\\
& p_{k+1} =
\begin{cases}
\frac{-(u_k + \alpha + 1) + \sqrt{(u_k + \alpha + 1)^2 - 4\beta c_k}}{2\beta},
\quad \text{ for } p_k \geq 0, \quad c_k \leq 0,
\\
\frac{1}{ u_k + 1} -1 + ( p_k \text{ mod }1),
\quad \text{ for } p_k \geq 0, \quad c_k > 0,
\\
l_k-1,
\quad \text{ for } p_k 1,
\end{cases}
\end{align}
其中
:
\begin{align}
c_k = (1 - ( p_k \text{ mod }1))( u_k +1) - 1,
S_{l_k} = -( u_k - \alpha + 1 ) p_k + \beta p_k^2,
l_k = \frac{1 - (S_{l_k} \text{ mod }1)}{ u_k + 1},
d_k = (S_{l_k} \text{ mod }1) + u_k.
\end{align}
此離散時間模型只在(u_k=0,p_k=0)有一個穩態，可以估計hold-in範圍和捕獲範圍
參考資料
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