鎖相迴路範圍

hold-in範圍、捕獲範圍（pull-in range，也稱為識別範圍，acquisition range）及鎖定範圍（lock-in range）是鎖相迴路電路有關其頻率偏差範圍的相關參數，是在不同條件下電路可以鎖定外來訊號的資訊。

歷史
在1996年锁相环的參考書中，會介紹像hold-in、pull-in、lock-in等锁相环可以鎖定的頻率範圍，以及其他锁相环相關的頻率範圍。這些參數廣為在相關產業使用（例如當代的工業文獻以及其他的出版物）。在工程文獻中只會對這些參數給予不嚴謹的定義。
這樣的情形多年之後，在有關同步以及通訊的教科書已有共識，在使用這些參數前小心的提供其定義。之後就出現了嚴謹的數學定義。
加德納有關鎖定範圍定義的問題
在其著名著作Phaselock Techniques的第一版，有提到鎖定（lock-in）頻率的概念「假如，因為一些原因，輸入和VCO的頻率差小於迴路頻寬，迴路會幾乎瞬間鎖定，不會脫步（slipping cycle）。可以快速識別頻率的最大頻率差稱為鎖定頻率」。其中有關鎖定頻率以及對應鎖定頻率的定義非常流行，出現在許多的工程文獻上。不過因為在初始狀態時，可能完全沒有頻率差，因此鎖相迴路一開始運作，在識別頻率的過程其實就脫步了。因此在迴路是否脫步的分析中，鎖相迴路的初始狀態就非常重要了。Gardner有關鎖定頻率的概念不太嚴謹，仍需要澄清。

加德納在該書的第二版中有提到：「沒有一個自然的方式可以精確定義唯一的鎖定頻率」，另外也提到：「雖然在本質上很含糊，但鎖定範圍是很有用的概念。」。

定義

• \theta_\Delta(t) = \theta_\text{ref}(t) - \theta_\text{VCO}(t)，是輸入（參考）信號和振盪器（VCO, NCO）信號的相位差。
• \theta_\Delta(0)，是輸入信號和VCO信號的初始相位差
• \omega_\Delta(t) = \dot\theta_\text{ref}(t) - \dot\theta_\text{VCO}(t)，是輸入信號和VCO信號的頻率差。
• \omega_\Delta^\text{free} = \omega_\text{ref} - \omega_\text{VCO}^\text{free}是輸入信號頻率和VCO游走頻率（free running frequency）信號的差值。

一般而言，\omega_\Delta^\text{free} \neq \omega_\Delta(0)，因為 \omega_\Delta(0)會依VCO的初始輸入而定。

鎖定狀態
鎖定狀態的定義

在鎖定狀態（locked state）中
#相位誤差擾動很小，頻率誤差很小。
#在小幅的相位擾動以及濾波狀態後，PLL可以回到鎖定狀態。

Hold-in範圍
Hold-in範圍的定義

在可達到鎖定狀態的情形下，頻率偏差0 \leq \left|\omega_\Delta^\text{free}\right| \leq \omega_h的最大值稱為hold-in範圍，而\omega_h稱為hold-in頻率。

假設鎖相迴路的電源一開始關閉，在t = 0時開啟。假設初始的頻率差夠大，迴路在一個周期內無法鎖定，但VCO頻率會慢慢的朝向參考頻率移動（識別過程）。此效果稱為暫態穩定性。捕獲範圍（Pull-in range）用來說明識別過程可以穩定的頻率偏差範圍（在和中有說明）。

捕獲範圍定義

捕獲範圍是在任意相位、初始頻率以及濾波器狀態下，讓PLL可以鎖相捕獲的最大頻率偏差範圍0 \leq \left|\omega_\Delta^\text{free}\right| \leq \omega_p的值，而\omega_p稱為捕獲頻率（pull-in frequency）。

鎖定範圍
假設PLL一開始已鎖定，參考頻率\omega_1突然劇烈變化（步階變化）。鎖定範圍（Pull-in range）可以保證在一段時間（可能是很長的一段時間）之內，PLL最後會同步。這種長的的識別過程稱為脫步（cycle slipping）。

若初始和最後的相位偏差大於2\pi，就有脫步（cycle slipping）的情形。
: \exist t > T_\text{lock}: \left|\theta_\Delta(0) - \theta_\Delta(t)\right| \geq 2\pi.

不過，有時也會考慮偏差的限制，以及偏差的最大值

鎖定範圍的定義

若鎖相迴路已在鎖定狀態，在鎖定範圍（lock-in range）內的突然變化
\omega_\Delta^\text{free}（\left|\omega_\Delta^\text{free}\right| \leq \omega_\ell）,鎖相迴路可以在沒有脫步的情形下鎖定。\omega_\ell稱為鎖定頻率（lock-in frequency）

參考資料