鑒相器特性函數

鑒相器特性函數（phase detector characteristic）是相位差的函數，可以描述鉴相器的輸出。

在鑒相器的分析時，常需要考慮時域以及相域-時域的特性。
若要建立鑒相器在相域-時域的適合非線性數學模型，需要找到鑒相器的特性。
鑒相器的輸入是高頻信號，其輸出包括低頻的誤差修正信號，對應輸入信號的相位差。若鑒相器的輸出有高頻成份，為了要抑制高頻成份，會需要低通濾波器。鑒相器的特性是指鑒相器在相域-時域的輸出和其輸入相位差的相關性。

鑒相器的特性和其實現方式以及其使用的信號種類有關。考量鑒相器特性時，允許針對高頻振盪使用平均法，也允許從時域下從相位同步系統非自治模型的分析和仿真，改為在相域-時域自治模型的分析和仿真。
類比乘法器的鑒相器特性
考慮用類比乘法器和低通濾波器組成的鑒相器。

此處f^1(\theta^1(t)) and f^2(\theta^2(t))是高頻信號，分段可微函數f^1(\theta), f^2(\theta)是輸入信號的波形，\theta^{1,2}(t)是相位，而g(t)是濾波器的輸出。

若f^{1,2}(\theta)和\theta^{1,2}(t)滿足高頻條件（高頻條件在），則 鑒相器特性函數\phi(\theta)會用以下方式計算，要使得時域的濾波器輸出
:
g(t) = \int\limits_0^t f^1(\theta^1(t))f^2(\theta^2(t))dt

和相域—頻域模型的濾波輸出
:
G(t) = \int\limits_0^t \varphi(\theta^1(t) - \theta^2(t))dt

幾乎相等
:g(t) - G(t) \approx 0

弦波輸入
考慮簡單的弦波輸入f^1(\theta)=\sin(\theta), f^2(\theta)=\cos(\theta)以及積分器濾波器。
:\sin(\theta^1(t))\cos(\theta^2(t)) = \frac{1}{2}\sin(\theta^1(t) + \theta^2(t)) + \frac{1}{2}\sin(\theta^1(t) - \theta^2(t))
標準的工程假設會假設濾波器會去除高頻訊號\sin(\theta^1(t) + \theta^2(t))，不改變其低頻訊號\sin(\theta^1(t) - \theta^2(t))。

因此，其弦波訊號的鑒相器特性為
:
\varphi(\theta) = \frac{1}{2}\sin(\theta).

方波輸入
考慮高頻方波信號f^1(t) = \sgn(\sin(\theta^1(t))) and f^2(t) = \sgn(\cos(\theta^2(t)))。
針對此訊號，已有論文研究出類似的結果 。
方波訊號的鑒相器特性為
:
\varphi(\theta) = \begin{cases}
1+\frac{2\theta}{\pi}, & \text{if }\theta \in [-\pi,0],\\
1-\frac{2\theta}{\pi}, & \text{if }\theta \in [0,\pi].\\
\end{cases}

一般輸入訊號
考慮一般情形的片段連續輸入信號f^{1}(\theta), f^2(\theta)。

輸入信號可以展開為傅立葉級數，f^1(\theta)和f^2(\theta)傅立葉級數的係數如下：
:
a^p_i=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} f^p(x)\sin(ix)dx,
b^p_i=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} f^p(x)\cos(ix)dx,
c^p_i=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} f^p(x)dx, p = 1,2

鑒相器特性為
。

參考資料