三角平方數

三角平方數是既是三角形數，又是平方數的數。三角平方數有無限個，可以由以下公式求得：

: N_k = {1 \over 32} \left[ \left( 1 + \sqrt{2} \right)^{2k} - \left( 1 - \sqrt{2} \right)^{2k} \right]^2

找尋三角平方數的問題可用以下方法簡化成佩爾方程。每個平方數的形式為 m^2，三角形數的則為 \frac{n(n-1)}{2}。於是求n, m使得：

:\frac{n(n-1)}{2}=m^2
:n(n-1)=2m^2
:n^2-n+\frac{1}{4}=2m^2+\frac{1}{4}
:4n^2-4n+1=8m^2+1
:(2n-1)^2=8m^2+1

設k=2n-1，p=2m，代入之，得方程k^2=2p^2+1。

第k個三角平方數N等於第s個平方數及第t個三角形數，它們的關係為

: s(N) = \sqrt{N}
: t(N) = \lfloor \sqrt{2 N} \rfloor

t可以由下面的方式得出：
: t(N_k) = {1 \over 4} \left\{ \left[ \left( 1 + \sqrt{2} \right)^k + \left( 1 - \sqrt{2} \right)^k \right]^2 - \left[ 1 + (-1)^k \right]^2 \right\}

N亦可用遞歸的方式求得：
:N_0=0
:N_1=1
:N_k=34N_{k-1} - N_{k-2} + 2

當k越大，\tfrac{t}{s}就會趨近\sqrt2：

\begin{matrix} N=1 & s=1 & t=1 & \frac{t}{s}=1
\\ N=36 & s=6 & t=8 & \frac{t}{s} = 1.3333333
\\ N=1225 & s=35 & t=49 & \frac{t}{s} = 1.4
\\ N=41616 & s=204 & t=288 & \frac{t}{s} = 1.4117647
\\ N=1,413,721 & s=1189 & t=1681 & \frac{t}{s} = 1.4137931
\\ N=48,024,900 & s=6930 & t=9800 & \frac{t}{s} = 1.4141414
\\ N=1,631,432,881 & s=40391 & t=57121 & \frac{t}{s} = 1.4142011
\end{matrix}

它們實際上是「為偶數的佩爾數」的一半再平方的值。

相關問題
大衛·蓋爾曾提出一條問題：求對於哪些n，使得1,2,3,4...,n這個數列中，存在一個數s，在s之前的數之和跟在s之後的數之和相等。例如1,2,3,...,8中，6就是這樣的一個數，1+2+3+4+5=7+8

解答：
根據題意列方程，得到s(s-1)/2 = (s+n+1)(n-s)/2
s2 = n(n+1)/2

當第n個三角形數是平方數時，就符合題目的條件。（參考：[https://web.archive.org/web/20060107091957/http://www.msri.org/communications/emissary/index_html Puzzles Column of The Emissary (Fall2005)]）

參考
*[http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/triSquare.shtml Triangular numbers that are also square] From Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles.