最内侧稳定圆轨道

最内侧稳定圆轨道（通常称为ISCO ）是在广义相对论中，测试粒子可以稳定地绕大质量物体运行的最小圆形轨道。最内侧稳定圆轨道标记了盘的内边缘，因此在黑洞吸积盘理论中起着重要作用。

數學表述
最内侧稳定圆轨道的位置，即ISCO半径（ r_{\mathrm{isco}} ）取决于中心物体的角动量（自旋）。

非旋轉黑洞
对于非旋转的大质量物体，其引力场可以用史瓦西度规表示，那么最内侧稳定圆轨道具有半径

: r_{\mathrm{isco}} = \frac{6 \, GM}{c^2}=3 R_S,

其中 R_S 是具有质量为 M 的大质量物体的史瓦西半径。因此，即使对于非旋转物体，最内侧稳定圆轨道半径也仅是史瓦西半径 R_S 的三倍，这表明只有黑洞和中子星在其表面之外具有最内侧稳定圆轨道。随着中心物体的角动量增加， r_{\mathrm{isco}}也随之减少。

在ISCO和光子球之间仍然可能存在圆形轨道，但它们是不稳定的。光子球的半径为

: r = \frac{3 \, GM}{c^2} = \frac{3 R_S}{2}.

对于像光子这样的无质量测试粒子，唯一可能且不稳定的圆形轨道恰好在光子球上。 在光子球以内，不存在圆形轨道。

旋转黑洞
旋转黑洞的情况稍有复杂。克尔度规下，赤道面上最内侧稳定圆轨道半径取决于轨道为顺行（下式取负号）或逆行（取正号）：

: r_{\mathrm{isco}} = \frac{GM}{c^2} \left( 3 + Z_2 \pm \sqrt{(3-Z_1)(3+Z_1+2Z_2)} \right)

其中

: Z_1 = 1 + \sqrt[3]{1-x^2} \left( \sqrt[3]{1+x} + \sqrt[3]{1-x} \right)
: Z_2 = \sqrt{3x^2 + Z_1^2}

这里 x=a/M 是为旋转参数。 随着黑洞的旋转速率增加，逆行的ISCO半径向 9GM/c^2（a=0时视界半径的4.5倍）增加；而顺行的最内侧稳定圆轨道朝着视界半径减小，并且似乎最终与视界合并，成为一极端黑洞（不过后者是用Boyer-Lindquist坐标假想的结果 ）。

如果粒子也在旋转，则最内侧稳定圆轨道会进一步分裂，这取决于粒子旋转方向是否与黑洞旋转方向相同。

参考文献
外部链接
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