电感

電感（）是閉合迴路的一種屬性，即當通過閉合迴路的電流改變時，會出現電動勢來抵抗電流的改變。如果這種現象出現在自身迴路中，那麼這種電感稱為自感（），是閉合迴路自己本身的屬性。假設一個閉合迴路的電流改變，由於感應作用在另外一個閉合迴路中產生電動勢，這種電感稱為互感（）。電感以方程式表達為
:\mathcal{E} = - L { \mathrm{d}i \over \mathrm{d}t}；

其中，\mathcal{E}是電動勢，L是電感，i是電流，t是時間。

術語「電感」是1886年由奧利弗·黑維塞命名。通常自感是以字母「L」標記，以紀念物理學家海因里希·楞次。互感是以字母「M」標記，是其英文（Mutual Inductance）的第一個字母。採用國際單位制，電感的單位是亨利（Henry），標記為「H」，以紀念科學家約瑟·亨利。與其他物理量的關係：一亨利等同一韋伯除以一安培（1 H = 1 Wb/A）。

電感器是專門用在電路裏實現電感的電路元件。螺線管是一種簡單的電感器，指的是多重捲繞的導線（稱為「線圈」），內部可以是空心的，或者有一個金屬芯。螺線管的電感是自感。變壓器是兩個耦合的線圈形成的電感器，由於具有互感屬性，是一種基本磁路元件。在電路圖中電感的電路符號多半以L開頭，例如，L01、L02、L100、L201等。

概述
應用馬克士威方程組，可以計算出電感。很多重要案例，經過簡化程序後，可以被解析。當涉及高頻率電流和伴隨的集膚效應，經過解析拉普拉斯方程式，可以得到面電流密度與磁場。假設導體是纖細導線，自感仍舊跟導線半徑、內部電流分佈有關。假若導線半徑超小於其它長度尺寸，則這電流分佈可以近似為常數（在導線的表面或體積內部）。

自感
如右圖所示，流動於閉合迴路的含時電流i(t)所產生的含時磁通量\Phi (i)，根據法拉第電磁感應定律，會促使閉合迴路本身出現感應電動勢\mathcal{E}：
: \mathcal{E} = - N{{\mathrm{d}\Phi} \over \mathrm{d}t} = - N{{\mathrm{d}\Phi} \over \mathrm{d}i} \ { \mathrm{d}i \over \mathrm{d}t}；

其中，N是閉合迴路的捲繞匝數。

設定電感L為
:L= N \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}i}。

則感應電動勢與含時電流之間的關係為
: \mathcal{E} = - L { \mathrm{d}i \over \mathrm{d}t}。

由此可知，一個典型的電感元件中，在其幾何與物理特性都固定的狀況下，產生的電壓v為：
:v= L {{\mathrm{d}i} \over \mathrm{d}t}。

电感的作用是抵抗电流的变化，但是这种作用与电阻阻碍电流的流動是有区别的。电阻阻碍电流的流動的特徵是消耗电能，而电感则纯粹是抵抗电流的变化。当电流增加时电感抵抗电流的增加；当电流减小时电感抵抗电流的减小。电感抵抗电流变化的过程并不消耗电能，當电流增加时它會将能量以磁场的形式暂时储存起来，等到电流减小时它又會将磁场的能量释放出来，其效應就是抵抗电流的变化。

互感
如右圖所示，流動於閉合迴路1的含時電流i_1(t)，會產生磁通量\Phi_{2}(t)穿過閉合迴路2，促使閉合迴路2出現感應電動勢\mathcal{E}_2。穿過閉合迴路2的磁通量和流動於閉合迴路1的含時電流，有線性關係，稱為互感M_{21}，以方程式表達為。
:\Phi_{2} = M_{21} i_1。

計算互感，可使用紐曼公式（)：

• M_{21} = \frac{\mu_0}{4\pi} \oint_{\mathbb{C}_1} \oint_{\mathbb{C}_2} \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}_1\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}_2} ；

其中，\mu_0是磁常數，\mathbb{C}_1是閉合迴路1，\mathbb{C}_2是閉合迴路2，\mathbf{X}_1是微小線元素\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}_1的位置，\mathbf{X}_2是微小線元素\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}_2的位置。

由此公式可見，兩個線圈之間互感相同：M_{12} = M_{21}，且互感是由兩個線圈的形狀、尺寸和相對位置而確定。

推導
穿過閉合迴路2的磁通量\Phi_{2}(t)為
:\Phi_{2}(t)=\int_{\mathbb{S}_2}\mathbf{B}_1(\mathbf{X}_2, t)\cdot \mathrm{d}\mathbf{a}_2；

其中，\mathbb{S}_2是邊緣為\mathbb{C}_2的任意曲面，\mathrm{d}\mathbf{a}_2是微小面元素。

改用磁向量勢\mathbf{A}_1計算：
:\mathbf{B}_1(\mathbf{X}_2, t)=\nabla_2\times\mathbf{A}_1(\mathbf{X}_2, t)；

其中，\nabla_2是對於變向量\mathbf{X}_2的偏微分。

應用斯托克斯公式，可以得到
:\Phi_{2}(t)=\int_{\mathbb{S}_2}[\nabla_2\times\mathbf{A}_1(\mathbf{X}_2, t)]\cdot \mathrm{d}\mathbf{a}_2=\oint_{\mathbb{C}_2}\mathbf{A}_1(\mathbf{X}_2, t)\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}_2。

磁向量勢\mathbf{A}_1(\mathbf{X}_2, t)的定義式為
:\mathbf{A}_1(\mathbf{X}_2, t)\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\mu_0 i_1}{4\pi}\oint_{\mathbb{C}_1} \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}_1}。

磁通量與流動於閉合迴路1 \mathbb{C}_1的電流i_1的關係式為
:\Phi_{2}(t)=\frac{\mu_0 i_1}{4\pi} \oint_{\mathbb{C}_1}\oint_{\mathbb{C}_2}\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}_1\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}_2}。

所以，互感為
:M_{21}=\frac{\mathrm{d}\Phi_2}{\mathrm{d}i_1}=\frac{\mu_0}{4\pi} \oint_{\mathbb{C}_1}\oint_{\mathbb{C}_2}\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}_1\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}_2}。

這方程式稱為紐曼公式（）。注意到對換閉合迴路\mathbb{C}_1與\mathbb{C}_2不會改變結果，M_{21}=M_{12}，因此，可以以變數M統一代表。

類似地，穿過閉合迴路1的磁通量\Phi_{1}(t)為
:\Phi_{1}(t)=\frac{\mu_0 i_1}{4\pi} \oint_{\mathbb{C}_1}\oint_{\mathbb{C}'_1}\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}_1\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}'_1}。

除去所有下標，令\mathbb{C}、\mathbb{C}'代表同一閉合迴路，自感以方程式表示為
:L=\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}i}=\frac{\mu_0}{4\pi} \oint_{\mathbb{C}}\oint_{\mathbb{C}'}\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}'}。

當\mathbf{X}_1=\mathbf{X}'_1時，這積分可能會發散，需要特別加以處理。另外，若假設閉合迴路為無窮細小，則在閉合迴路附近，磁場會變得無窮大，磁通量也會變得無窮大，所以，必須給予閉合迴路有限尺寸，設定其截面半徑r_0超小於徑長\ell_0，

有很多種方法可以化解這困難。例如，令\mathbb{C}為閉合迴路的中心曲軸，令\mathbb{C}'為閉合迴路的表面，則\mathbf{X}_1\ne\mathbf{X}'_1，這積分就不會發散了。

耦合係數
耦合係數為描述電感之間互感量與自感量的相對大小，兩電感器的耦合係數定義為
:k = \frac{M}{\sqrt{L_1 L_2}}；
其中k為耦合係數，無單位；M為兩電感的互感值，L_1, L_2分別為兩電感器的自感值。

電感與磁場能量
將前面論述加以推廣，思考K條閉合迴路，設定第k條閉合迴路的捲繞匝數為N_k，載有電流i_k，則其磁鏈N_{k}\Phi _{k}為
:N_{k}\Phi _{k}=\sum_{n=1}^{K}L_{k,n}i_{n}；

其中，\Phi _{k}是穿過第k條閉合迴路的磁通量，L_{k,k}=L_k是自感，L_{k,n}=M_{k,n}, k\ne n是互感。

由於第n條閉合迴路對於磁通量\Phi _{k}的總貢獻是捲繞匝數乘以電流，即N_n i_n，所以，L_{k,n}與乘積N_k N_n成正比。

從法拉第電磁感應定律，可以得到
:v_{k}=-\mathcal{E}_k=N_{k}\frac{\mathrm{d}\Phi _{k}}{\mathrm{d}t} =\sum_{n=1}^{K}L_{k,n}\frac{\mathrm{d}i_{n}}{\mathrm{d}t} =L_k\frac{\mathrm{d}i_k}{\mathrm{d}t}+\sum_{n=1,\ n\ne k}^{K}M_{k,n}\frac{\mathrm{d}i_{n}}{\mathrm{d}t}；

其中，v_{k}是第k條閉合迴路的感應電壓。

第k條閉合迴路的電功率p_k為
:p_k=i_k v_k。

假設原先所有電流為零，即i_1=i_2=\dots=i_K=0 ,
儲存於所有閉合迴路的總磁能為0。現在，將第一條閉合迴路的電流i_1平滑地從0增加到I_1，同時保持其它閉合迴路的電流不變，則儲存於第一條閉合迴路的磁能W_1為
:W_1=\int i_1 v_1 \mathrm{d}t=\int_0^{I_1} i_1 L_1\mathrm{d}i_1=\frac{1}{2}L_1 I_1^2。

然後，將第二條閉合迴路的電流i_2平滑地從0增加到I_2，同時保持其它閉合迴路的電流不變，則儲存於第二條閉合迴路的磁能W_2為
:W_2=\int i_2 v_2 \mathrm{d}t=\int_0^{I_2} i_2 L_2\mathrm{d}i_2 +\int_0^{I_2} I_1 M_{1,2}\mathrm{d}i_2
=\frac{1}{2}L_2 I_2^2+M_{1,2}I_1 I_2。

案照這方法繼續地計算，儲存於第k條閉合迴路的磁能W_k為
:W_k=\int i_k v_k \mathrm{d}t=\int_0^{I_k} i_k L_k\mathrm{d}i_k +\sum_{n=1}^{k-1} \int_0^{I_k} I_n M_{n,k}\mathrm{d}i_k
=\frac{1}{2}L_k I_k^2+\sum_{n=1}^{k-1}M_{n,k}I_n I_k。

所以，當每一個閉合迴路的電流都平滑地增加到其最終電流之後，儲存於所有閉合迴路的總磁能W為
:W=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{K}L_k I_k^2+\sum_{k=1}^{K}\sum_{n=1}^{k-1}M_{n,k}I_n I_k
=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{K}L_k I_k^2+\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{K}\sum_{n=1,n\ne k}^{K}M_{n,k}I_n I_k
。

假設將I_n與I_k的數值交換，總磁能W不會改變。滿足可積分條件\frac{\partial^2{W}}{\partial I_n \partial I_k}=\frac{\partial^2{W}}{\partial I_k \partial I_n}，必需要求L_{k,n}=L_{n,k}成立。所以，電感矩陣L_{k,n}是個對稱矩陣。

從物理角度來看，上述增加電流方法並不是唯一方法，還有其它很多種增加電流方法。由於能量守恆，沒有任何耗散能量。所以，不論選擇哪一種方法，只要每一條閉合迴路的電流增加到其最終電流，則儲存的總磁能都相等。

串聯與並聯電路
串聯電路
自感現象
如右圖所示，n個電感器串聯的等效電感L_{eq}為
:L_{eq} = L_1 + L_2 + \cdots + L_n。

將n個電感器串聯在一起，並在這個串聯電路的兩端加上電源。按照電感的定義，第k個電感器兩端的電壓v_k等於其電感L_k乘以通過的電流的變率\frac{\mathrm{d}i_k}{\mathrm{d}t}：
:v_k=L_k \frac{\mathrm{d}i_k}{\mathrm{d}t}；

按照克希荷夫電流定律，從電源（直流電或交流電）給出的電流i等於通過每一個電感器的電流i_k。所以，
:i=i_1=i_2= \cdots =i_n；

根據克希荷夫電壓定律，電源兩端的電壓等於所有電感器兩端的電壓的代數和：
:v=v_1 +v_2 + \cdots +v_n=L_1\frac{\mathrm{d}i_1}{\mathrm{d}t} +L_2\frac{\mathrm{d}i_2}{\mathrm{d}t} + \cdots +L_n\frac{\mathrm{d}i_n}{\mathrm{d}t}=(L_1 + L_2 + \cdots + L_n)\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}；

所以，n個電感器串聯的等效電感L_{eq}為
:L_{eq} = L_1 + L_2 + \cdots + L_n。

互感現象
由於電感器產生的磁場會與其鄰近電感器的纏繞線圈發生耦合，很難避免緊鄰的電感器彼此互相影響。物理量互感M能夠給出對於這影響的衡量。

例如，由電感分別為L_1、L_2，互感為M的兩個電感器構成的串聯電路，其等效互感L_{eq}有兩種可能：
*假設兩個電感器分別產生的磁場或磁通量，其方向相同，則稱為「串聯互助」，其等效電感
:L_{eq} = L_1 + L_2 +2M。
*假設兩個電感器分別產生的磁場或磁通量，其方向相反，則稱為「串聯互消」，其等效電感
:L_{eq} = L_1 + L_2 - 2M。

對於具有三個或三個以上電感器的串聯電路，必需考慮到每個電感器自己本身的自感和電感器與電感器之間的互感，這會使得計算更加複雜。等效電感是所有自感與互感的代數和。
例如，由三個電感器構成的串聯電路，會涉及三個自感和六個互感。三個電感器的自感分別為M_{11}、M_{22}、M_{33}；互感分別為M_{12}、M_{13}、M_{23}、M_{21}、M_{31}、M_{32}。等效電感為
:L_{eq} = (M_{11} + M_{22} + M_{33}) + (M_{12} + M_{13} + M_{23}) + (M_{21} + M_{31} + M_{32})。

由於任意兩個電感器彼此之間的互感相等，M_{ij} = M_{ji}，後面兩組互感可以合併：
:L_{eq} = (M_{11} + M_{22} + M_{33}) +2 (M_{12} + M_{13} + M_{23})。

互感公式推導
如右圖所示，兩個電感器串聯互助在一起。將電源連接於這串聯電路的兩端。應用克希荷夫電壓定律，按照點規定，可以得到
: -v + L_1 \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} + M \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} + L_2 \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} + M \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} = 0 ；

其中，v是電源兩端的電壓，i是電流。

電壓v和電流i之間的關係為
: v = (L_1 + L_2 +2M) \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} ；

所以，兩個電感器串聯互助的等效電感為
: L_{eq} = L_1 + L_2 + 2M 。

以類似的作法，也能得到兩個電感器串聯互消的等效電感。

並聯電路
自感現象
如右圖所示，n個電感器並聯在一起，類似前面所述方法，可以計算出其等效電感L_{eq}為
:\frac{1}{L_{eq}} =\frac{1}{L_1} +\frac{1}{L_2}+ \cdots +\frac{1}{L_n}。

互感現象
由於電感器產生的磁場會與其鄰近電感器的纏繞線圈發生耦合，很難避免緊鄰的電感器彼此互相影響。物理量互感M能夠給出對於這影響的衡量。上述方程式描述n個電感器無互感並聯的理想案例。

由電感分別為L_1、L_2，互感為M的兩個電感器構成的並聯電路，其等效互感L_{eq}為：
*假設兩個電感器分別產生的磁場或磁通量，其方向相同，則稱為「並聯互助」，其等效電感
::L_{eq}=\frac{L_1L_2-M^2}{L_1+L_2-2M}。
*假設兩個電感器分別產生的磁場或磁通量，其方向相反，則稱為「並聯互消」，其等效電感
::L_{eq}=\frac{L_1L_2-M^2}{L_1+L_2+2M}。

對於具有三個或三個以上電感器的並聯電路，必需考慮到每個電感器自己本身的自感和電感器與電感器之間的互感，這會使得計算更加複雜。

互感公式推導
如右圖所示，兩個電感器並聯互助在一起。將電源連接於這並聯電路的兩端。應用克希荷夫電壓定律，按照點規定，可以得到
: -v + L_1\frac{\mathrm{d}i_1}{\mathrm{d}t}+M\frac{\mathrm{d}i_2}{\mathrm{d}t}=0；
: -v + L_2\frac{\mathrm{d}i_2}{\mathrm{d}t}+M\frac{\mathrm{d}i_1}{\mathrm{d}t}=0；
其中，v是電源兩端的電壓，i_1和i_2分別是通過兩個支路的電流。

利用二元一次聯立方程組的克拉瑪公式，可得
: \frac{di_1}{dt} = \frac{v(L_2 - M)}{L_1L_2 - M^2} ；
: \frac{di_2}{dt} = \frac{v(L_1 - M)}{L_1L_2 - M^2} ；

根據克希荷夫電流定律， i = i_1 + i_2 ，因此
: \frac{di}{dt} = \frac{di_1}{dt} + \frac{di_2}{dt} = \frac{v(L_1 + L_2 -2M)}{L_1 L_2 - M^2} ；

可得電壓v和電流i之間的關係為
:v=\frac{L_1L_2-M^2}{L_1+L_2-2M}\ \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} ；

所以，兩個電感器並聯互助的等效電感為
:L_{eq}=\frac{L_1L_2-M^2}{L_1+L_2-2M}。

以類似的作法，也能得到兩個電感器並聯互消的等效電感。

鏡像法
對於某些案例，不同的電流分佈會在空間的一些區域產生同樣的磁場。這論據可以用來計算電感。例如，思考以下兩個系統：
*一條筆直的載流導線與導體牆之間的距離為d/2。
*兩條互相平行、載有異向電流的導線，彼此之間的距離為d。

這兩個系統的磁場在導體牆外的半空間（）相等。第二個系統的磁能與電感分別是第一個系統的兩倍。

非線性電感
很多電感器是用磁性材料製成。假若磁場超過材料的飽和度，則這些材料會顯示出非線性磁導率行為與伴隨的磁飽和效應，從而促使電感成為施加電流的函數。雖然法拉第電磁感應定律仍舊成立，但電感會具有多重歧義，依計算電路參數或磁通量而不同。

「大信號電感」是用來計算磁通量，以方程式定義為
:L_s(i)\ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \frac{N\Phi}{i} = \frac{\Lambda}{i}。

「小信號電感」是用來計算電壓，以方程式定義為
:L_d(i)\ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \frac{\mathrm{d}(N\Phi)}{\mathrm{d}i} = \frac{\mathrm{d}\Lambda}{\mathrm{d}i}。

非線性電感器的電壓為
:v(t) = \frac{\mathrm{d}\Lambda}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}\Lambda}{\mathrm{d}i}\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} = L_d(i)\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}。

類似地，可以給出非線性互感的定義。

簡單電路的自感
很多種電路的自感可以以閉形式給出：

對於高頻率案例，由於集膚效應，電流均勻地分佈於導體表面。依幾何組態不同，有時必須分為低頻率和高頻率案例，因此必須增加參數Y：
*Y =1/2：電流均勻地分佈於整個導體截面。
*Y = 0：集膚效應，電流均勻地分佈於導體表面。
*對於高頻率案例，假若導體彼此移向對方，另外會有屏蔽電流流動於導體表面，含有參數Y的表達式不成立。

參閱
*點規定
*LC電路
*RLC電路
*RL電路
*漏電感
*磁動勢
*變壓器

參考資料
*
*