连通图（）是图论中最基本概念之一，其定义基于连通的概念。在一个无向图G中，若从顶点v_i到顶点v_j有路径相连（从v_j到v_i也一定有路径），则称v_i和v_j是连通的。如果G是有向图，那么连接v_i和v_j的路径中所有的边都必须同向。如果图中任意两点都是连通的，那么图被称作连通图。图的连通性是图的基本性质。连通度是指为了让图分解成孤立的子图所要删除的顶点数的最小值。连通度是刻画网络的一个重要指标。

严格定义
对一个图G= (V,E)中的两点x和y，若存在交替的顶点和边的序列\Gamma = (x=v_0 - e_1 - v_1 - e_2 - \cdots - e_{k} - v_{k} = y)（在有向图中要求有向边v_i - v_{i+1}属于E），则两点x和y是连通的。\Gamma是一条x到y的连通路径，x和y分别是起点和终点。当x=y时，\Gamma被称为回路。如果通路\Gamma中的边两两不同，则\Gamma是一条简单通路，否则为一条复杂通路。如果图G中每两点间皆连通，则G是连通图。

一个有向图被称作弱连通(weakly connected)的，如果将所有有向边替换为无向边之后的无向图是连通的，如果对于任意一对顶点u，v，或者存在一条从u到v的有向路径，或者存在一条从v到u的有向路径，则该图是单连通(unilaterally conncected)的，如果对于如果对于任意一对顶点u，v，同时存在一条从u到v的有向路径和一条从v到u的有向路径，则该图是强连通(strongly connected)的。

分量和割
无向图G的一个极大连通子图称为G的一个连通分量（或连通分支）。每一个顶点和每一条边都属于唯一的一个连通分量，连通图只有一个连通分量，即其自身；非连通的无向图有多个连通分量。

有向图中的强连通分量是其极大的强连通子图。强连通图只有一个强连通分量，即是其自身；非强连通的有向图有多个强连通分量。

连通图G的割点是指一个由顶点组成的集合，在G删除了这些点之后，会变得不连通。点连通度\kappa(G)是割点集阶数的最小值。如果图G不是完全图，且\kappa(G)=k,则图G是k-点连通的。更确切地来说，如果图G（不论是否完全）可以在删除了k+1个点之后变得不连通，却不能在删除k-1个点之后变得不连通，则图G是k-点连通的，特别地，阶数为n的完全图是n-1-点连通的。

一对端点u,v的割点是是指一个由顶点组成的集合，在G删除了这些点之后，u,v会变得不连通。局部连通度\kappa(u,v)是u,v的最小割点集的阶数。在无向图上，局部连通度是对称的，也就是说，\kappa(u,v)=\kappa(v,u)，另外，除了完全图之外，\kappa(G)为所有不相邻的点对u,v的局部联通度中的最小值。

类似的概念可以用来定义边连通度。如果在G上删除一条边可以导致不连通性，则这条边被称作桥。更一般地，割边是指一个由边组成的集合，在
在G删除了这些边之后，会变得不连通。边连通度在\lambda(G)是最小的割边集的大小，局部边连通度\lambda(u,v)是

如果图G的边连通度大于等于k，则它被称作k-边连通的。

在一个图上，以下的不等式成立:\kappa(G)\leqslant\lambda(G)\leqslant\delta(G)，其中\delta(G)是G的最小度(minimum degree)。
如果图G的点连通度等于其最小度,则被称作极大连通的，如果它的边连通度等于其最小度，则它被称作**极大边连通的。
Super- and hyper-连通
如果图G上，每一个最小的割点集都能孤立一个顶点，则图G被称作super-connected或者 super-κ。如果G删除了每一个最小的割点集之后图都会分成两个连通分量，并且其中一个是单点，那么图G被称作hyper-connected或hyper-κ。 如果图上删除了每一个最小的割点集之后都分成了两个连通分量，则图G被称作semi-hyper-connected或semi-hyper-κ。

一个割点集X被称作non-trivial的，如果对于任意不属于X的顶点v，其邻域N(u)都不包含在X中。G的superconnectivity可以被表示成：
\kappa(G)=\min\{ |X|:X\text{ is a non-trivial cutset}\}。

一个non-trivial 割边和edge-superconnectivity \lambda_1(G)可以被类似地定义。

门格尔定理
图论中关于连通性最重要的定理之一门格尔定理，它用顶点之间独立路径的个数刻画了图点连通和边连通度。令
u，v为图G的两个顶点，一系列连接u和v的路径被称作点独立的，如果它们之间除了u，v之外，不会有相同的顶点。类似地，它们被称作边独立的，如果它们不会有相同的边。u
和u点独立的路径的个数被记作\kappa'(u,v)，边独立的路径的个数被记作\lambda'(u,v)。
门格尔定理告诉我们，若u
，v不相同，则\lambda'(u,v)=\lambda(u,v)，若u，v不相同且不相邻，则
\kappa'(u,v)=\kappa(u,v) 。
事实上，这其实是最大流最小割定理的特殊情况。

连通度的计算方面
判断两个顶点是否连通这一问题可以被搜索算法迅速的解决，例如广度优先算法。更一般地，判断一个图是否连通，以及一个图连通分量的计数问题可以被较快地解决（例如使用并查集，一个简单算法的伪代码可以写成：

从G的任意一个顶点开始

使用深度优先或广度优先搜索所有与该顶点连通的顶点，并计数

搜索完成，如果计数等于G的阶数，则G是连通的，否则G不连通。

根据门格尔定理，在连通图G上，对于任意一对顶点u，v，\kappa(u,v)，\lambda(u,v)可以通过最大流最小割算法迅速的计算，因此，G的边连通度和点联通度分别作为\kappa(u,v)，\lambda(u,v)的最小值，可以被迅速地计算。

连通图的个数
n阶（小于等于16）的不同的连通图的个数在 On-Line Encyclopedia of Integer Sequences中被记录在 中，前几个份量是

一些例子

• 不连通图的边连通度和点连通度均为0
• 1-点连通等价于阶数大于等于2的图的连通性。
• n阶完全图的边连通度是n-1,其他类型的n阶图的边连通度严格小于n-1
• 在树中，任意两个顶点之间的局部边连通度都是1

其他性质

• 连通性被图同态保持
• 如果G是连通的，则它的线图L(G)也是连通的
• 图G是2-边连通的，当且仅当它有一个定向，且是强连通的。
• 根据G. A. Dirac的结论，如果图G是k-点连通的，且k\geqslant2，则对于每k个顶点组成的集合，存在一个环经过这个集合上所有的顶点。 在k=2时，反过来亦成立。

• 一个无向图G= (V,E)是连通的，那么边的数目大于等于顶点的数目减一： |E| \ge |V|-1，而反之不成立。

• 如果G= (V,E)是有向图，那么它是强连通图的必要条件是边的数目大于等于顶点的数目： |E| \ge |V|，而反之不成立。

• 没有回路的无向图是连通的当且仅当它是树，即等价于：\displaystyle |E| = |V|-1。

参见

• 代数连通度
• Cheeger constant (graph theory)
• Dynamic connectivity, 并查集
• 扩展图
• Strength of a graph

參考文獻