雅可比三重乘积

雅可比三重乘积是由德国数学家卡尔·雅可比在对theta函数和q-模拟的研究中发现的有关一个三重无穷乘积的恒等式，形如
: \prod_{k=1}^\infty(1-q^{2k})(1+q^{2k-1}z^{-2})(1+q^{2k-1}z^{+2})=\sum_{k=-\infty}^\infty q^{k^2}z^{2k}
其中q在单位圆盘内，而z\neq0非零。
它也可以用Q-函数或者q-珀赫哈默尔符号描述，
: Q_1Q_2Q_3=1

证明
考虑恒等式
: q^{\begin{pmatrix}k+1\\2\end{pmatrix}}\prod_{j=1}^\infty1/({1-q^j})=\sum_{j=0}^\infty(s^{k+j})\prod_{m=1}^\infty(1+sq^m)\left[t^j\prod_{n=1}^\infty(1+tq^n)+t^{j-1}\prod_{n=1}^\infty(1+tq^n)\right]
立刻就有
: q^{\begin{pmatrix}k+1\\2\end{pmatrix}}\prod_{j=1}^\infty1/({1-q^j})=\sum_{j=0}^\infty(1+t)(s^{k+j}t^j)\prod_{m=1}^\infty(1+sq^m)(1+tq^m)=\sum_{j=0}^\infty(s^{k+j}t^j)\prod_{m=1}^\infty(1+sq^m)(1+tq^{m-1})
考虑令u=st，则原式可改写为
: q^{\begin{pmatrix}k+1\\2\end{pmatrix}}\prod_{j=1}^\infty1/({1-q^j})=s^k\sum_{j=0}^\infty u^j\prod_{m=1}^\infty(1+sq^m)(1+uq^{m-1}/s)
因此
: q^{\begin{pmatrix}k+1\\2\end{pmatrix}}\prod_{j=1}^\infty1/({1-q^j})=s^k\prod_{m=1}^\infty(1+sq^m)(1+sq^{m-1})
利用对称性，令s=1/s，又有
: q^{\begin{pmatrix}1-k\\2\end{pmatrix}}\prod_{j=1}^\infty1/({1-q^j})=s^{-k}\prod_{m=1}^\infty(1+sq^m)(1+q^{m-1}/s)
再考虑对k的双边无穷求和，
: \sum_{k=-\infty}^\infty s^kq^{\begin{pmatrix}k+1\\2\end{pmatrix}}\prod_{j=1}^\infty1/({1-q^j})=\prod_{m=1}^\infty(1+sq^m)(1+q^{m-1}/s)
因此，进一步地
: \sum_{k=-\infty}^\infty s^kq^{\begin{pmatrix}k+1\\2\end{pmatrix}}=\prod_{m=1}^\infty(1-q^m)(1+sq^m)(1+q^{m-1}/s)
令q=q^2且sq=z，恒等式得证。