铅垂线

的横向虚线为各重力等位面，其中加粗的为大地水准面（Geoid）；阳橙色的纵向虚线为铅垂线（true vertical），其与重力等位面正交。]]

铅垂线（），又称垂线或力线，在大地测量学中指重力作用的方向线。铅垂线与与重力矢量的方向处处相切，该方向又被称为铅垂方向，有时也直接以铅垂线代称。在重力场中，铅垂线通常是曲线而非直线，彼此互不平行，与其经过的重力等位面正交。

曲率
由于在重力场中，除轴线外，同一直线上各点的重力矢量方向通常各不相同。因此，铅垂线通常是一条具有曲率的曲线。通过计算铅垂线的曲率，可以将地形表面上进行的天文测量数据归算到大地水准面上。铅垂线在某点处的曲率 \kappa 可以通过该点处的重力矢量的大小 g 及其一阶微分 g_x、g_y 得到：

:\kappa = {1 \over g}\sqrt{g_x^2+g_y^2}

推导过程
设铅垂线的线元矢量为 \operatorname{d}\!\mathbf{x} = (\operatorname{d}\!x, \operatorname{d}\!y, \operatorname{d}\!z)，重力矢量为 \mathbf{g} = (W_x, W_y, W_z)，两者间仅相差一个比例因子：

:\frac{\operatorname{d}\!x}{W_x} = \frac{\operatorname{d}\!y}{W_y} = \frac{\operatorname{d}\!z}{W_z}

根据微分几何中曲率的计算公式，铅垂线投影在 xz 平面上的曲率 \kappa_1 为

:\kappa_1 = {\operatorname{d}^2\!x\over\operatorname{d}\!z^2}

上式的二阶微分可由重力位 W 的偏微分得到：

:{\operatorname{d}\!x\over\operatorname{d}\!z} = {W_x \over W_z} \longrightarrow
{\operatorname{d}^2\!x\over\operatorname{d}\!z^2} = {1 \over W_z^2}
\left[ W_z(W_{xz}+W_{xx}{\operatorname{d}\!x\over\operatorname{d}\!z}) -
W_x(W_{zz}+W_{zx}{\operatorname{d}\!x\over\operatorname{d}\!z}) \right]

取沿向上的铅垂方向为 z 轴正向，建立局部坐标框架。此时重力位 W 在 xy 平面的微分为零，即

:W_x = W_y = 0 \longrightarrow {\operatorname{d}\!x\over\operatorname{d}\!z} = 0

将上式代入曲率 \kappa_1 的计算公式，得：

:\kappa_1 = {W_{zx} \over W_z}

其中，重力位沿 z 轴方向的微分 W_z = -g. 其中 g 为重力矢量的大小，即 g = \lVert \mathbf{g} \rVert. 则重力位的微分可替换为重力矢量大小的微分：

:\kappa_1 = {g_x \over g}

同理可证，铅垂线投影在 yz 平面上的曲率 \kappa_2 为

:\kappa_2 = {g_y \over g}

由于铅垂线与 z 轴在上述定义的局部坐标框架中相切，即铅垂线投影在 xy 平面上的曲率为零，再由总曲率的计算公式可以得到：

:\kappa = \sqrt{\kappa_1^2+\kappa_2^2} = {1 \over g}\sqrt{g_x^2+g_y^2}

参考文献