啁啾-Z轉換（Chirp-Z transform）為離散傅立葉變換（DFT）的一般化，是一種適合於計算當取樣頻率間隔（sampling frequency interval）與取樣時間間隔（sampling time interval）乘積的倒數不等於信號的時頻分佈面積時的演算法，其為利用卷积來實現任意大小的離散傅立葉變換（DFT）的快速傅立葉變換演算法。
具體來說，啁啾-Z轉換沿著對數螺旋輪廓，計算出有限數量的點 zk 的Z轉換，其定義如下：
:X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x(n) z_{k}^{-n}
:z_k = A\cdot W^{-k}, k=0,1,\dots,M-1
其中A為起始點，W為點與點之間的比率，M為需要計算的點的數量。
布魯斯坦演算法
離散信號x_n的離散傅立葉變換可以寫成下列的形式
: X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-\frac{2\pi i}{N} nk }
\qquad
k = 0,\dots,N-1.
其中e^{-\frac{2\pi i}{N} nk }\qquad這項的 nk 可以利用平方式展開得到，如下式所示
:(n-k)^2 = n^2-2nk+k^2\Rightarrow nk=-\frac{(n-k)^2-n^2-k^2}{2}
所以
:e^{-\frac{2\pi i}{N} nk}=e^{\frac{2\pi i}{N} \frac{(n-k)^2-n^2-k^2}{2}} = e^{\frac{\pi i}{N}(n-k)^2} e^{-\frac{\pi i}{N}n^2} e^{-\frac{\pi i}{N} k^2}
而將此平方展開式帶回原式我們可以得到
: X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-\frac{2\pi i}{N} nk } = e^{-\frac{\pi i}{N} k^2}\sum_{n=0}^{N-1} ( x_n e^{-\frac{\pi i}{N}n^2} )e^{\frac{\pi i}{N}(n-k)^2}
\qquad
k = 0,\dots,N-1.
上面的累加結果恰為兩個序列 an 及 bn 的卷積，兩序列的定義如下：
:a_n = x_n e^{-\frac{\pi i}{N} n^2 }
:b_n = e^{\frac{\pi i}{N} n^2 },
而產生的卷積結果會再乘上 N 個相位的參數 *bk：
:X_k = b_k^* \sum_{n=0}^{N-1} a_n b_{k-n} \qquad k = 0,\dots,N-1.
因此離散信號
x_n
的離散傅立葉變換現在可以分成三個步驟來實現：
*STEP 1：對於信號x_n的每一個取樣點都乘上 e^{-\frac{\pi i}{N}n^2}
*STEP 2：接著再與e^{\frac{\pi i}{N}(n-k)^2}做線性卷積
*STEP 3：最後乘上e^{-\frac{\pi i}{N}k^2}
如此即可得到不同頻率成分的X_k。
此卷積動作可以透過卷積理論所實現，其中，由於這些快速傅立葉轉換結果的長度 N 不同，導致我們必須透過補零的方式，將快速傅立葉轉換的結果補至長度大於或等於 2N - 1，才能精確計算其卷積結果。此外，布魯斯坦演算法提供一個時間複雜度為 O(N log N) 的方式計算質數大小的離散傅立葉轉換。
在布魯斯坦演算法的卷積過程中使用補零的方式是值得討論的。如果我們將訊號補至長度為 M ≥ 2N–1，代表 an 被擴展至長度為 M 的陣列 An，其中當 0 ≤ n < N 時，An = an，否則 An = 0。然而，基於卷積中的 bk–n 項， bn 需要 n 的正值和負值。在陣列中補零的離散傅立葉轉換的周期性邊界，代表著 -n 等於 M - n。因此，bn 被擴展到長度為 M 的陣列 Bn，其中 B0 = b0，Bn = BM–n = bn(當 0 < n <)，否則，Bn = 0。然後根據通常的捲積定理對 A 和 B 進行快速傅立葉轉換，逐點相乘，並進行逆快速傅立葉轉換以獲得 a 和 b 的卷積。
讓我們更準確地說明，布魯斯坦演算法的離散傅立葉轉換需要什麼類型的捲積。如果序列 bn 在具有周期 N 的 n 中是具有周期性的，那麼它將是長度為 N 的循環卷積，並且，為了計算上的方便而使用補零的方式。但是，通常情況並非如此：
:b_{n+N} = e^{\frac{\pi i}{N} (n+N)^2 } = b_n e^{\frac{\pi i}{N} (2Nn+N^2) } = (-1)^N b_n .
因此，當 N 為偶數時，卷積是具有週期性的，但在這種情況下，人們通常使用更有效率的快速傅立葉轉換演算法，例如Cooley-Tukey演算法；反之，當 N 為奇數時，bn 是反週期性的，並且具有長度 N 的負循環卷積。然而，當如上所述，使用補零的方式江陣列補到至少 2N−1 的長度時，兩者之間的差異消失。
Z轉換
上述提到的布魯斯坦演算法也可以基於單方面的Z轉換，用以計算更一般化的轉換(Rabiner et al, 1969)，特別是具有以下形式的轉換：
: X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n z^{nk}
\qquad
k = 0,\dots,M-1,
其中 z 為任意複數，N以及M分別為輸入及輸出的數量。
由前面所提到的布魯斯坦演算法，我們可以進行如此的轉換。例如，獲得訊號某一部分頻譜中的內插值，以及在傳遞函數分析中增加任意極點，皆為其應用之一。
該演算法被稱為啁啾-Z轉換演算法，是因為在傅立葉轉換的情境(|z| = 1)下，一序列 bn 是一複數正弦波，而在雷達系統中則被稱作「啁啾」。
相關條目
- 卷积
- 離散傅立葉變換
- 快速傅立葉變換
- 啁啾（Chirp）
參考文獻
- Jian-Jiun Ding, class lecture of Time Frequency Analysis and Wavelet transform, Graduate Institute of Communication Engineering, National Taiwan University, Taipei, Taiwan, 2007.
- Jian-Jiun Ding, class lecture of Time Frequency Analysis and Wavelet transform, Graduate Institute of Communication Engineering, National Taiwan University, Taipei, Taiwan, 2018.
- http://cnx.org/content/m12013/latest/
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