反推控制（backstepping）也稱為反演控制或反步法，是一種控制理论的技術，在約1990年時由等人提出，針對特殊形式的非線性动力系统設計可以稳定系統的控制器。此一系統是由許多子系統一層一層組成，最內層的子系統不可再簡化，可以由其他方式穩定最內層的系統。由於此系統的递归結構，設計者可以以最內層可穩定的系統為啟始點，反推新的控制器來穩定較外層的子系統，此程序會一直進行到處理到最外層的外部控制命令為止。因此此方式稱為是「反推控制」*。

反推控制的設計方式
反推控制的設計方式可以針對的系統，提供一種递归方式使其在原點可以稳定。考慮以下型式的动力系统

:\begin{align}\begin{cases}
\dot{\mathbf{x}} &= f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) z_1\\
\dot{z}_1 &= f_1(\mathbf{x},z_1) + g_1(\mathbf{x},z_1) z_2\\
\dot{z}_2 &= f_2(\mathbf{x},z_1,z_2) + g_2(\mathbf{x},z_1,z_2) z_3\\
\vdots\\
\dot{z}_i &= f_i(\mathbf{x},z_1, z_2, \ldots, z_{i-1}, z_i) + g_i(\mathbf{x},z_1, z_2, \ldots, z_{i-1}, z_i) z_{i+1} \quad \text{ for } 1 \leq i

其中

• \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n，其中n \geq 1。
• z_1, z_2, \ldots, z_i, \ldots, z_{k-1}, z_k是純量。
• 是系統的純量輸入
• f_x, f_1, f_2, \ldots, f_i, \ldots, f_{k-1}, f_k在原點處數值為零（也就是說f_i(0,0,\dots,0) = 0）
• g_1, g_2, \ldots, g_i, \ldots, g_{k-1}, g_k是在關注區域內不為零（也就是g_i(\mathbf{x},z_1,\ldots,z_k) \neq 0，在1 \leq i \leq k的情形下）

另外假設系統
:\dot{\mathbf{x}} = f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) u_x(\mathbf{x})
在原點處有李雅普诺夫稳定性，可以用某種已知的控制方式u_x(\mathbf{x})使得u_x(\mathbf{0}) = 0。並且假設針對此穩定子系統，可以其李亞普諾夫函數 V_x。因此子系統可以由其他方式穩定，利用反推控制可以將其穩定性延展到在外圍的\textbf{z}。

在的穩定子系統外圍的嚴格回授型式系統

• 反推控制的控制輸入對狀態z_n有最直接的穩定性效果。
• 狀態z_n的作用是在狀態z_{n-1}之前的穩定性控制。
• 此程序會繼續，使每一個狀態z_i會都會被虛擬的控制信號z_{i+1}所穩定。

反推控制會確認用z_1要穩定子系統的方式，接著再由下一個狀態z_2來驅動狀態z_1，使其產生可以穩定的信號。因此此程序是從的嚴格回授型式反推往外，一直到設計到最終的控制信號。

递归控制设计概述
递归控制的作法如下

假設較小（低階）的子系統

#::\dot{\mathbf{x}} = f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) u_x(\mathbf{x})
#:已經可以用一些控制方式u_x(\mathbf{x})穩定，此控制方式會符合u_x(\mathbf{0}) = 0的條件。意思是說，穩定此系統的u_x，是用其他控制方式達成的。也假設已知此一穩定系統的李亞普諾夫函數 V_x。反推控制可以將這個子系統的穩定性拓展到較大的系統。

會設計控制信號u_1(\mathbf{x},z_1)，使得系統

#::\dot{z}_1 = f_1(\mathbf{x},z_1) + g_1(\mathbf{x},z_1) u_1(\mathbf{x},z_1)
#:穩定，讓z_1依照想要的u_x控制方式進行。此控制器是依照擴充李亞普諾夫候選函數（augmented Lyapunov function candidate）來設計
#::V_1(\mathbf{x},z_1) = V_x(\mathbf{x}) + \frac{1}{2}( z_1 - u_x(\mathbf{x}) )^2
#:此控制信號u_1可以適當選擇，使\dot{V}_1可以遠離0

會設計控制信號u_2(\mathbf{x},z_1,z_2)，使得系統

#::\dot{z}_2 = f_2(\mathbf{x},z_1,z_2) + g_2(\mathbf{x},z_1,z_2) u_2(\mathbf{x},z_1,z_2)
#:穩定，讓z_2依照想要的u_1控制方式進行。此控制器是依照擴充李亞普諾夫候選函數來設計
#::V_2(\mathbf{x},z_1,z_2) = V_1(\mathbf{x},z_1) + \frac{1}{2}( z_2 - u_1(\mathbf{x},z_1) )^2
#:此控制信號 u_2可以適當選擇，使\dot{V}_2可以遠離0

會反覆此一程序，一直到其實際已知為止，而且

#* 真實控制信號會使z_k接近虛擬控制信號u_{k-1}的控制得以穩定。
#* 虛擬控制信號u_{k-1}會使z_{k-1}接近虛擬控制信號u_{k-2}的控制得以穩定。
#* 虛擬控制信號u_{k-2}會使z_{k-2}接近虛擬控制信號u_{k-3}的控制得以穩定。
#* ...
#* 虛擬控制信號u_2會使z_2接近虛擬控制信號u_1的控制得以穩定。
#* 虛擬控制信號u_1會使z_1接近虛擬控制信號u_x的控制得以穩定。
#* 虛擬控制信號u_x會使穩定在原點。

此程序稱為反推（backstepping），因為是從內部穩定的子系統開始，漸漸反推到較外圍的系統，同時維持每一步的穩定性。因

• f_i在0 \leq i \leq k時為0
• g_i在1 \leq i \leq k不為0
• 給定控制信號u_x會滿足u_x(\mathbf{0}) = 0,

因此所得的系統在原點（ \mathbf{x}=\mathbf{0}\,, z_1=0, z_2=0, ..., z_{k-1}=0及z_k=0）處穩定，是全域漸進穩定。

相關條目

• 非線性控制

*

• 鲁棒控制
• 自适应控制

參考資料