輸入-狀態穩定性（Input-to-state stability）簡稱ISS，是在有外部輸入時，非線性的控制理論中探討其穩定性的方式。簡單來說，控制系統具有輸入-狀態穩定性也就是指在沒有外在輸入時，系統會漸近穩定，而且在足夠長的時間後，系統軌跡會限制在和輸入大小有關的函數中。
輸入-狀態穩定性之所以重要，是因為此概念連接了輸入-輸出穩定性以及狀態空間法，這二個都是控制系統研究者常常使用的工具。輸入-狀態穩定性的標示方式是由在1989年開始使用。
定義
考慮非時變常微分方程，其形式如下
{{NumBlk|:|
\dot{x} = f(x,u), \ x(t) \in \mathbb{R}^n,
|}}
其中u:\mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}^m是勒贝格测度有本質確界的外部輸入，且 f是利普希茨連續函數。這可以確保系統()有唯一绝对连续的解。
若要定義ISS以及其他相關的性質，需要引入以下的分類。令\mathcal{K}（K類函數）為連續遞增函數 \gamma:\R_+ \to \R_+ ，且 \gamma(0)=0 形成的集合，令\mathcal{K}_{\infty} 為無界函數 \gamma \in \mathcal{K} ，再令 \beta \in \mathcal{K}\mathcal{L}（KL類函數）為若 \beta(\cdot,t) \in \mathcal{K} 在所有的 t \geq 0 都成立，而且針對所有的 r > 0 ， \beta(r,\cdot) 連續，且嚴格遞減至0。
系統()稱為在原點全域漸近穩定（0-GAS），若對應的零輸入系統
{{NumBlk|:|
\dot{x} = f(x,0), \ x(t) \in \mathbb{R}^n,
|}}
是全域李雅普诺夫稳定，也就是存在
\beta \in \mathcal{K}\mathcal{L} 使得針對所有的初值
x_0 以及任意時間 t \geq 0 ，以下有關()解的估計都有效＞：
系統()稱為輸入-狀態穩定性（ISS）若存在函數
\gamma \in \mathcal{K} 且 \beta \in \mathcal{K}\mathcal{L} 使得針對所有初值 x_0 ，所有可行的輸入 u 以及任意時間 t \geq 0 ，以下的不等式都成立
{{NumBlk|:|
|x(t)| \leq \beta(|x_0|,t) + \gamma(\|u\|_{\infty}).
|}}
上述不等式中的函數\gamma稱為增益（gain）。
很明顯的，ISS系統是0-GAS系統，也有有界輸入有界輸出穩定性（若令輸出等於狀態），不過0-GAS系統不一定是ISS系統。
也可以證明若在t \to \infty時，|u(t)| \to 0，則在t \to \infty時，|x(t)| \to 0。
輸入-狀態穩定性質的特點
為了要瞭解輸入-狀態穩定性，需要用其他的穩定性術語來重新說明。
系統()為全域穩定（GS），若存在
\gamma, \sigma \in \mathcal{K} ，使得對於\forall u、\forall t \geq 0 及\forall x_0 ，下式都成立
{{NumBlk|:|
|x(t)| \leq \sigma(|x_0|) + \gamma(\|u\|_{\infty}).
|}}
系統()滿足漸近增益（AG）特性，若存在\gamma \in \mathcal{K} ，使得對於\forall x_0 , \forall u，下式都成立
{{NumBlk|:|
\limsup_{t \to \infty}|x(t)| \leq \gamma(\|u\|_{\infty}).
|}}
以下的描述都是等效的
：
#()有ISS（輸入-狀態穩定性）
#()是GS（全域穩定），且有AG（漸近增益）特性
#()是0-GAS（在原點全域漸近穩定），且有AG（漸近增益）特性
在論文中可以找到以上論述的證明，以及許多輸入-狀態穩定性的特性。
例子
考慮一系統
::
\dot{x}=-x^3+ux^2.
定義候選的ISS-李亞普諾夫函數V:\R \to \R_+ 如下
V(x)=\frac{1}{2}x^2, \quad \forall x \in \R.
\dot{V}(x)=\nabla V \cdot (-x^3+ux^2) = -x^4 + ux^3.
選擇李亞普諾夫增益 \chi為
:: \chi(r):= \frac{1}{1-\epsilon}r .
可以得到在 x,u:\ |x| \geq \chi(|u|)的條件下，下式成立
::
\dot{V}(x) \leq -|x|^4 + (1-\epsilon)|x|^4 = -\epsilon|x|^4.
可得 V 是該系統的ISS-李亞普諾夫函數，李亞普諾夫增益為 \chi。
其他相關概念
積分輸入-狀態穩定性（iISS）
系統()為積分輸入-狀態穩定性（integral input-to-state stable，iISS）若存在函數 \alpha, \gamma \in \mathcal{K} 及 \beta \in \mathcal{K}\mathcal{L} ，使得針對所有初值 x_0 ，所有可行的輸入 u 及任意時間 t \geq 0 下，以下不等式都會成立：
積分輸入-狀態穩定性（iISS）系統和ISS系統不同，若系統是iISS系統，在有界輸入下其軌跡仍可能會成長到無限大。例如，在所有 r \geq 0 ，令 \alpha(r)=\gamma(r)=r ，且令u \equiv c= const，則估計()會變成以下的形式
::
|x(t)| \leq \beta(|x_0|,t) + \int_0^t cds = \beta(|x_0|,t) + ct,
隨著 t \to \infty ，等號右側會趨近無限大 t \to \infty 。
局部輸入-狀態穩定性（LISS）
局部輸入-狀態穩定性也是一種輸入-狀態穩定性的特性。系統()為局部輸入-狀態穩定性（locally ISS、LISS）若存在常數\rho>0、函數 \gamma \in \mathcal{K} 及 \beta \in \mathcal{K}\mathcal{L} 使得：針對所有 x_0 \in \mathbb{R}^n: \; |x_0| \leq \rho ，所有可行的輸入 u: \|u\|_{\infty} \leq \rho 及任意時間 t \geq 0 ，下式都成立
{{NumBlk|:|
|x(t)| \leq \beta(|x_0|,t) + \gamma(\|u\|_{\infty}).
|}}
可以觀察到0-GAS系統會有LISS系統的特性。
其他的穩定性
也有其他人提出和輸入-狀態穩定性有關的穩定性特性，例如增量輸入-狀態穩定性（incremental ISS）、輸入至輸出動態穩定性（input-to-state dynamical stability、ISDS）、輸入至輸出實務穩定性（input-to-state practical stability、ISpS）、輸入至輸出穩定性（input-to-output stability、IOS）等。
時滯系統的ISS
考慮非時變的时滞微分方程
{{NumBlk|:|
\dot{x}(t)=f(x^t,u(t)), \quad t > 0.
|}}
其中x^t\in C([-\theta,0];\R^N)是系統()在時間t的狀態，x^t(\tau)=x(t+\tau),\ \tau\in[-\theta,0]及f:C([-\theta,0];\R^N) \times \R^m需滿足特定假設，以確保系統()的解存在且唯一。
系統()為ISS，若且唯若存在函數\beta\in \mathcal{KL}及\gamma\in\mathcal{K}，使得針對所有\xi\in C(\left[-\theta,0\right],\R^N)，所有可行的輸入，在任意時間t\in\R_+下，下式都成立
{{NumBlk|:|
\left|x(t)\right|\leq \beta(\left\|\xi\right\|_{\left[-\theta,0\right]},t) + \gamma(\left\|u\right\|_{\infty}).
|}}
在時滯系統的ISS理論中，提出了二個不同的李亞普諾夫型的充份條件：透過ISS Lyapunov-Razumikhin函數及ISS Lyapunov-Krasovskii泛函。有些論文有提到有關時滯系統的逆李亞普諾夫定理。
其他類型系統的輸入-狀態穩定性
以非時變常微分方程為基礎的輸入-狀態穩定性是已有相當發展的理論。也有研究者將此理論應用在其他的系統中，例如時變系統、混合系統。近來也有人提出，將輸入-狀態穩定性的一些概念擴展到無限維系統的想法。
參考資料
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