数字签名算法

数字签名算法（DSA）是用于数字签名的联邦信息处理标准之一，基于模算数和离散对数的复杂度。DSA是Schnorr和ElGamal签名方案的变体。

美国國家標準技術研究所（NIST）于1991年提出将DSA用于其数字签名标准（DSS），并于1994年将其作为FIPS 186采用。[2]已对初始规范进行了四次修订。DSA已获得专利，但NIST已将此专利在全球范围内買斷式授權。

DSA的椭圆曲线密码学版本是ECDSA。

概述
DSA算法工作在框架公钥加密、模算数和离散对数问题，这被认为是难解问题。该算法使用由公钥和私钥组成的密钥对。私钥用于生成消息的数字签名，并且可以通过使用签名者的相应公钥来验证这种签名。数字签名提供信息鉴定（接收者可以验证消息的来源），完整性（接收方可以验证消息自签名以来未被修改）和不可否认性（发送方不能错误地声称它们没有签署消息）。

操作
DSA 演算法包含了四種操作：金鑰生成、金鑰分發、簽章、驗證

金鑰生成
金鑰生成包含兩個階段。第一階段是演算法參數的選擇，可以在系統的不同使用者之間共享，而第二階段則為每個使用者計算獨立的金鑰組合。

參數選擇

• 選擇經核可的 密碼雜湊函式 H，在原版的 DSS（Digital Signature Standard）中，H 總是使用 SHA-1，而目前的 DSS 已核可更為安全的 SHA-2 作為雜湊函式。 假如長度 |H| 大於模數長度 N，則雜湊函式的輸出只有最左邊的 N 位元會被使用。
• 選擇金鑰長度 L，原版的 DSS 限制 L 必須為 512 到 1024 之間 64 的倍數，NIST 800-57 建議使用長度為 2048 的金鑰。
• 選擇模數長度 N 使得 N 且 N \leq |H|，FIPS 186-4 規定 (L, N) 必須為 (1024, 160)、(2048, 224)、(2048, 256) 或 (3072, 256) 其中一種。
• 選擇長度為 N 位元的質數 q。
• 選擇長度為 L 位元的質數 p 使得 p - 1 為 q 的倍數。
• 從 \{ 2 \ldots p-2 \} 隨機選擇 h。
• 計算 g := h^{(p - 1)/q} \mod p，當 g=1 時需要重新產生不同的 h，通常會使用 h=2，即使數值很大時仍然可以非常有效率的計算這個 模幂。

演算法參數為 (p, q, g)，可被不同的使用者共享。

使用者金鑰
給定一套演算法參數後，第二階段會為每位使用者計算獨立金鑰組合：

• 從 \{ 1 \ldots q-1 \} 選擇隨機整數 x
• 計算 y := g^x \mod p

其中 x 是私鑰、y 是公鑰。

金鑰分發
簽章者需要透過可信任的管道發佈公鑰 y，並且安全地保護 x 不被其他人知道。

簽章流程
訊息 m 簽名流程如下：

• 從 \{ 1 \ldots q-1 \} 隨機選擇整數 k
• 計算 r := \left(g^{k}\bmod\,p\right)\bmod\,q，當出現 r=0 狀況時重新選擇隨機數 k
• 計算 s := \left(k^{-1}\left(H(m)+xr\right)\right)\bmod\,q，當出現 s=0 狀況時重新選擇隨機數 k

簽章為 (r, s) 組合

計算 k 和 r 旨在為不同訊息建立獨立的金鑰，計算 r 的模幂是這個演算法中最耗資源的部分，但這可在不知道訊息的前提下進行計算。
第二耗運算資源的部分是計算 k^{-1}\bmod\,q 模反元素，同樣也能在不知道訊息的前提下進行計算，這可以用擴展歐幾里得演算法或費馬小定理 k^{q-2}\bmod\,q 求得。

驗證簽章
透過以下步驟可以驗證 \left(r,s\right) 是訊息 m 的有效簽章：

• 驗證 0 且 0
• 計算 w := s^{-1} \bmod\,q
• 計算 u_1 := H(m) \cdot w\, \bmod\,q
• 計算 u_2 := r \cdot w\, \bmod\,q
• 計算 v := \left(g^{u_1}y^{u_2} \bmod\,p\right) \bmod\,q

只有在 v = r 時代表簽章是有效的

實作
下列密碼學函式庫有提供 DSA 的支援：

• OpenSSL
• GnuTLS
• wolfCrypt
• Crypto++

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相關條目

• 模運算
• RSA
• ECDSA

參考文獻