沃默斯利數

沃默斯利數（Womersley number），會用α或\text{Wo}的符號表示，是生物流體力學及的无量纲量。是表示頻率以及黏滯效應之間的關係。沃默斯利數得名自（1907–1958），為紀念他在動脈血液流動上的研究，因此命名。在實驗建模時（實驗研究中要比例放大血管系統時），會根據沃默斯利數來維持。在確認邊界層厚度，判斷進入效應是否可忽略時，也會用到沃默斯利數。

有些文獻將沃默斯利數的平方稱為斯托克斯數（Stokes number，\text{St}），紀念乔治·斯托克斯在上的先驅貢獻。
推導
沃默斯利數（常用\alpha來表示）定義如下

\alpha^2 = \frac{\text{transient inertial force}}{\text{viscous force}} = \frac{ \rho \omega U}{\mu U L^{-2} } = \frac{ \omega L^{2} }{\mu \rho^{-1} } = \frac{ \omega L^{2} }{\nu} \, ,

其中L是適當的（例如管路的直徑）、ω是振動的角频率、ν, ρ, μ分別是流體的黏度、密度及動黏度。沃默斯利數一般會寫成以下沒有幂次的式子

\alpha = L \left( \frac{\omega \rho}{\mu} \right)^\frac{1}{2} \, .

在心血管系統中，脈動頻率會隨血管距脈動源（心臟）的距離而減少。不過脈動頻率的變化在一個數量級（OoM）以內。在心血管系統中，沃默斯利數受脈動頻率的影響不大。

特徵長度（在血管系統中是血管直徑）是系統的重要特徵，也是決定沃默斯利數的重要因素。血管系統中，特徵長度的變化會到達三個數量級，因此對沃默斯利數的影響會比脈動頻率要大。利用頻率、秥黏度及密度的標準值，可以估計人類血管的沃默斯利數：

\alpha = L \left( \frac{\omega \rho}{\mu} \right)^\frac{1}{2} \, .

以下是人類不同血管內的沃默斯利數：

沃默斯利數也可以用無因次的雷诺数（Re）及斯特劳哈尔数（St）表示：

\alpha = \left( 2\pi\, \mathrm{Re} \, \mathrm{St} \right)^{1/2}\, .

沃默斯利數出現在脈動流的線性化纳维-斯托克斯方程（假定是不可壓縮的層流）方程的解裡。沃默斯利數表示瞬間或是振盪慣性力和剪力之間的比例。若\alpha較小（1或是更小的值），表示脈動頻率很低，在每一個週期中，都有足夠時間讓管路中的速度分佈發展成拋物線分佈，流和壓力梯度幾乎是同相位，因此可以配合瞬間壓力梯度，用泊肃叶定律來近似。若\alpha較大（10或是更大），表示脈動頻率很大，速度分布會比較平，類似管塞的外形，而平均流會落後壓力梯度約90度。沃默斯利數和雷諾數決定了動態相似性。

邊界層厚度\delta和瞬間加速度有關。和沃默斯利數成反比

\delta = \left( L/\alpha \right),

其中L為特徵長度。

生物流體力學
考慮一個許多管路組成的網路系統，其中從大管徑的管路，漸漸變成小管徑的管路（例如血管系統），在管路系統中的頻率、密度及黏度多半都是定值，而管路的管徑會隨位置而不同。在大血管內的沃默斯利數數值較大，隨著血管分支，漸漸變細，沃默斯利數會變小，而且會變的非常小。在終末動脈（terminal arteries）處的沃默斯利數接近1，在小動脈、微血管及小靜脈的沃默斯利數小於1。這區域比較不受慣性力的影響,流動是由黏性應力以及壓力梯度所控制。這稱為微循环。
參考資料