居里定律

居里定律是指在顺磁性材料中，材料的磁化强度大致与施加的磁场强度成正比。然而，若加热材料，则比值减小。对于固定场强的磁场，磁化率大致与温度成反比。

:\mathbf{M} = C \cdot \frac{\mathbf{B}}{T},

其中
:\mathbf{M}是磁化强度
:\mathbf{B}是磁感应强度
:T是温度，以开尔文为单位
:C是材料的居里常数

居里定律是在实验中由皮埃尔·居里得到的，它适用于相对高温及弱磁场的条件下。而从其物理本源上推导，则能得到在低温和强磁场条件下，磁化强度趋于饱和的结果，而非由定律预言的持续增加。
用量子力学推导
顺磁体简单的数学模型可以看作由没有相互作用的粒子组成。每一个粒子都有磁矩\vec{\mu}。磁场中磁矩的能量由下式给出：

:E=-\boldsymbol{\mu}\cdot\mathbf{B}.

双态 (自旋-½)粒子
为简化计算，可将顺磁体内的粒子看作是双态粒子：其磁矩与磁场的方向要么平行要么相反。因此，磁矩的可能值只能是\mu或者-\mu 。如果是这样，那么这样的粒子只有两种可能的能量

:E_0 = - \mu B

以及

:E_1 = \mu B.

顺磁体的磁化强度一般意味着粒子磁矩与磁场同向的可能性。换句话说，就是磁化强度\mu的期望值：

:\left\langle\mu\right\rangle = \mu P\left(\mu\right) + (-\mu) P\left(-\mu\right)
= {1 \over Z} \left( \mu e^{ \mu B\beta} - \mu e^{ - \mu B\beta} \right)
= {2\mu \over Z} \sinh( \mu B\beta),

其中，每一种情况的概率由其玻尔兹曼因子给出，配分函数Z为概率提供必要的归一化（即所有这些概率的总和是归一的）。
一个粒子的配分函数是

:Z = \sum_{n=0,1} e^{-E_n\beta} = e^{ \mu B\beta} + e^{-\mu B\beta} = 2 \cosh\left(\mu B\beta\right).
因此，在双态粒子简单的情形中，下式會成立

:\left\langle\mu\right\rangle = \mu \tanh\left(\mu B\beta\right).

这是单个粒子的磁化强度，固体的总磁化强度由下式给出

:M = n\left\langle\mu\right\rangle = n \mu \tanh\left({\mu B\over k T}\right)

其中n是磁矩的数密度。上式被称为朗之万顺磁方程。

皮埃尔·居里（Pierre Curie）在实验中发现：当顺磁体处于相对较高的温度和较低的磁场中，这个定律的近似成立。在T值较大且B值较小时，上式中双曲正切的自变量减少，即：

:\left({\mu B\over k T}\right) \ll 1

上式有时被称为 居里区间. 同时，如果|x| \ll 1，那么\tanh x \approx x，因此

:\mathbf{M}(T\rightarrow\infty)={n\mu^2\over k}{\mathbf{B}\over T},

因此磁化强度也很小，有B \approx \mu_0 H，可以得到

: M \approx \frac{\mu_0 \mu^2 n}{k} \frac{H}{T},

更重要的一点是，磁化率由下式给出

: \chi = \frac{\partial M}{\partial H} \approx \frac{M}{H}

即
: \chi(T \to \infty) = \frac{C}{T},

其中 居里常数 C = \mu_0 n\mu^2/k，其单位是开尔文 (K)。

在低温或高场的情况下，M趋向于n\mu的最大值，对应于所有粒子与场完全对齐。由于这个计算没有描述嵌入费米表面深处的电子，泡利不相容原理禁止其自旋翻转，所以它没有举例说明这个问题在低温下的量子统计。根据费米-狄拉克分布，在低温下M线性依赖于磁场，因此磁化率饱和到一个常数。

一般情况
当粒子具有任意自旋（任意数量的自旋状态）时，公式有点复杂。
在低磁场或高温下，自旋遵循居里定律，居里常数
:C = \frac{\mu_B^2}{3 k_B}n g^2 J(J+1)
其中 J是总角动量量子数，g 是 自旋的g因子 (例如 \mu = g J \mu_B 是磁量子数)。

对于更一般的公式及其推导（包括高场强，低温），请参阅文章：布里渊函数。 当自旋接近无穷大时，磁化公式接近下一节中推导的经典值。

用经典统计力学推导
当顺磁子被想象为经典的、自由旋转的磁矩时，适用另一种处理方法。在这种情况下，它们的位置将由它们在球坐标中的角度确定，其中一个粒子的能量是

:E = - \mu B\cos\theta,

其中 \theta 是磁矩和磁场之间的角度（假设磁场指向z轴）。对应的配分函数为

:Z = \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^{\pi}d\theta \sin\theta \exp( \mu B\beta \cos\theta).

可以看出上式中被积函数对 \phi 角没有依赖性，令 y=\cos\theta 以获得

:Z = 2\pi \int_{-1}^ 1 d y \exp( \mu B\beta y) =
2\pi{\exp( \mu B\beta )-\exp(-\mu B\beta ) \over \mu B\beta }=
{4\pi\sinh( \mu B\beta ) \over \mu B\beta .}

现在，磁化强度的z分量的预期值（另外两个被视为零，由于在\phi上的积分），由下式给出

:\left\langle\mu_z \right\rangle = {1 \over Z} \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^{\pi}d\theta \sin\theta \exp( \mu B\beta \cos\theta) \left[\mu\cos\theta\right] .

为简化计算, 可以将其写作Z微分：

:\left\langle\mu_z\right\rangle = {1 \over Z \beta} \frac{\partial Z}{\partial B} = {1 \over \beta} \frac{\partial \ln Z}{\partial B}

（这种方法也可以用于上面的模型，但计算非常简单，所以没有那么有用。）

继续推导发现

:\left\langle\mu_z\right\rangle = \mu L(\mu B\beta),

其中 L 是郎之万函数:

: L(x)= \coth x -{1 \over x}.
对于小 x，此函数似乎是奇异的，但事实并非如此，因为两个奇异项相互抵消。事实上，它对小参数的极限是L(x) \approx x/3，因此居里极限也适用，但在这种情况下，居里常数要小三倍。同样，对于其参数的较大值，函数在 1 处饱和，并且同样会恢复相反的极限。

参见
*居里-韦斯定律

参考资料