演员模型的指称语义

演员模型的指称语义（Denotational semantics of the Actor model）是演员的指称域理论的研究主题。这个主题的历史发展参见指称语义的历史。

演员不动点语义
计算系统语义的指称理论关心找到表示系统作为的数学对象。这个理论利用了计算数学域。这种计算域的例子是偏函数和演员事件图场景。

关系 x≤y 意味着 x 可以计算演进为 y。如果指称是偏序函数，比如 f≤g 可以意味着 f 一致于 g 在 f 在其上定义的所有值上。如果指称是演员事件图场景，x≤y 意味着满足 x 的系统可以演进到满足 y 的一个系统。

计算域有下列性质:
#底存在。域有最小元素指示为 ⊥ 使得对于所有域中元素 x 有 ⊥≤x。
#极限存在。随着计算继续，指称应当变得更好并有一个极限，使得如果有 \forall i \in \omega x_i \le x_{i+1}，则最小上界 \vee_{i \in \omega} x_i 应当存在。这个性质叫做 ω-完全性。
#有限元素是可数的。一个元素 x 是有限的(在域文献中也叫做孤立的)，当且仅当只要 A 是有向的，∨A 存在并且 x \le \vee A，就存在 a \in A 有着 x \le a。换句话说，x 是有限的，如果必须通过 x 来赶上或通过极限过程来超过 x。
#所有元素都是有限元素的可数递增序列的最小上界。在直觉上这意味着所有元素都可以通过在其中所有进步(progression)都是有限的一个计算过程来到达。
#域是向下闭合的。

由系统 S 指示的数学指称通过构造从叫做 ⊥S 的空指称递增更好的逼近来找到 ，使用某个逼近定义函数 progressions(进步)如下这样构造 S 的指称(意义)的 [Hewitt 2006b]:
:Denotes ≡ ∨i∈ω progressionsi(⊥S)。

期望 progressions 是单调的，就是说，如果 x≤y 则 progressions(x)≤progressions(y)。更一般的说，我们期望
:如果 ∀i∈ω xi≤xi+1，则 progressions(∨i∈ω xi) = ∨i∈ω progressions(xi)
最后陈述的 progressions 的性质叫做 ω-连续性。

指称语义的中心问题是刻画什么时候可能依据 Denotes 的等式建立指称(意义)。计算域理论的基本定理就是如果 progressions 是 ω-连续的，则 Denotes 存在。

从 progressions 的 ω-连续性得出
:progressions(Denotes) = Denotes

上述等式引出了术语 Denotes 是 progressions 的不动点。

进一步的，这个不动点是 progressions 的最小不动点。

在下节中给出函数式程序的指称语义作为不动点语义的例子。

阶乘函数的例子
考虑如下定义在所有数上的 factorial 函数:
:factorial ≡ λ(n)if (n==0)then 1 else n*factorial(n-1)
factorial 的 graph 是定义了 factorial 的所有有序对的集合，有序对的第一个元素是参数而第二个元素是值，例如: graph(factorial) = {|n∈ω} = {,,,,…}，
factorial 程序的指称(意义) Denotefactorial 被构造如下:
:Denotefactorial = graph(factorial) = ∪i∈ω progressionfactoriali({})
这里的
:progressionfactorial(g) ≡ λ(n)if (n==0)then 1 else n*g(n-1)

注意: progressionfactorial 是不动点算子(参见上节中的定义)，它的最小不动点是 Denotefactorial，就是
:Denotefactorial = progressionfactorial(Denotefactorial)
还有 progressionfactorial 是 ω-连续的(参见上节中的定义)。

从演员语义得出 Scott 连续性
演员模型为得出 Dana Scott 的函数的指称语义(在前面章节关于 factorial 的例子所展示的)提供了基础，Carl Hewitt 和 Henry Baker [1977] 首次给出了定理证明:

如果一个演员 f 表现得如同数学函数，则 progressionf 是 Scott 连续函数，其最小不动点是
:graph(f) = ∪i∈ω progressionfi({})
这里的
:progressionf(G)≡{|∈graph(f) 和 immediate-descendantsf()⊆G}
Hewitt 和 Baker 的论文在定义 immediate-descendantsf 时的缺陷由 Will Clinger [1981] 修正。
编程语言中的复合性
编程语言的指称语义的重要方面是复合性，通过它程序的指称可以从它的各个部分的指称来构造。例如，考虑表达式 "1> + 2>"。在这种情况下复合性是依据 1> 和 2> 的意义而为 "1> + 2>" 提供意义。

引用
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C.A.R. Hoare. Communicating Sequential Processes* CACM. August, 1978.
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Carl Hewitt (2006a). The repeated demise of logic programming and why it will be reincarnated* What Went Wrong and Why: Lessons from AI Research and Applications. Technical Report SS-06-08. AAAI Press. March 2006.
*Carl Hewitt (2006b) [http://www.pcs.usp.br/~coin-aamas06/10_commitment-43_16pages.pdf What is Commitment? Physical, Organizational, and Social] COIN@AAMAS. 2006.