麦克斯韦模型

麦克斯韦模型（）是用于描述材料粘弹性的一种模型。麦克斯韦由一个纯弹性的弹簧和一个纯黏性的黏壶（阻尼器）串联而成，其中的弹簧符合胡克定律，用于描述材料的弹性方面性质；而黏壶符合牛顿流体特征，代表黏性方面性质。1867年，詹姆斯·麦克斯韦提出了这一模型，符合这一模型的流体也被称为麦克斯韦流体。如果将弹簧和黏壶并联，则被称为开尔文-沃伊特模型。按照这一设计，当模型受到轴向应力时，总应力、弹簧上应力和黏壶应力应该相等，而总应变应该等于两者应变之和，即

:\sigma_\mathrm{Total}=\sigma_D = \sigma_S
:\varepsilon_\mathrm{Total}=\varepsilon_D+\varepsilon_S

此处的角标D表示黏壶（dashpot）而s表示弹簧（spring）。若将应变对时间求导，并考虑纯弹性弹簧满足胡克定律，纯黏性黏壶为牛顿流体，就可以得到

:\frac {d\varepsilon_\mathrm{Total}} {dt} = \frac {d\varepsilon_D} {dt} + \frac {d\varepsilon_S} {dt} = \frac {\sigma} {\eta} + \frac {1} {E} \frac {d\sigma} {dt}

其中 E表示弹性模量而η是材料的黏度。

如果用上点表示变化速率，该式也可以写作
:\frac {\dot {\sigma}} {E} + \frac {\sigma} {\eta}= \dot {\varepsilon}

麦克斯韦模型通常用于小应变的情况，如果应变较大，会形成几何上的非线性关系，需要进行扩展。

应力松弛
如果在麦克斯韦模型上施加一个突然的应变，并将该应变保持一段时间，测量其应力变化，就会发现应力随时间增长呈现指数型衰减的特征，这被称为应力松弛。

The picture shows dependence of dimensionless stress \frac {\sigma(t)} {E\varepsilon_0}
upon dimensionless time \frac{E}{\eta} t:

如果我们放开该材料，那么到 t_1时刻，其中的弹性部分可以完全回复如初，而黏性部分的应变不能完全恢复，可求得此时的应变为：
:\varepsilon_\mathrm{back} = -\frac {\sigma(t_1)} E = \varepsilon_0 \exp \left(-\frac{E}{\eta} t_1\right).

其中不可恢复的应变为
:\varepsilon_\mathrm{irreversible} = \varepsilon_0 \left(1- \exp \left(-\frac{E}{\eta} t_1\right)\right).

参考文献