快度

在相對論中，快度通常被用來衡量相對論效應下的速度。在數學上，快度可以被定義成一個雙曲角，這個角能夠反映兩個存在相對運動的參考座標系之间的差异——它们的时空坐標为洛仑兹变换所聯繫。

對於一維運動，快度可以簡單相加，而速度必須套用愛因斯坦的速度加成式。在低速的情況下，快度和速度是成比例的，但是對於更高速的狀況下，快度將增長得更快。特别地，光的速度為光速，而光的快度是無限大。

我們使用反雙曲函數來定義快度，當速度為時，其對應的快度是，其中是光速。速度較慢時，約為。由於在相對論中，速度v被局限於區間，因此比率將滿足。反雙曲正切函數的定義域為，而值域為整條實數線，所以可以將區間映射到。

歷史
在1908年赫爾曼·閔考斯基指出勞倫茲轉換可以被簡單的轉換為座標時中的，即為一個虛數角度的旋轉。 這個角度在一維空間中可以代表著座標系間速度的度量，且具有可加性。

1910年，和E. T. 惠特克提出用此參數來取代速度的觀念。而這個參數被 (1911)命名為快度，並隨後被許多筆者所採用，如盧迪威格·席柏斯坦 (1914)，愛德華·莫立 (1936)和沃夫岡·潤德勒 (2001)。
雙曲線扇形面積
雙曲函數xy=1的，是由提出的，他指出雙曲扇形的面積、或是一塊沿著漸進線所定義出的等效面積，可以用自然對數描述。
在時空理論中，類光事件將宇宙分為相對於給定“位置”和“時刻”的“（絕對）過去”、“（絕對）未來”和其他時空點。在空間中的任何一條線上，一道光束的行進方向可以向左或是向右。將向右行進的光束事件定為x軸，向左行進的光束事件定為y軸。則靜止座標系的時間軸即為對角線x = y。而速度可以用第一象限中的直角雙曲線xy = 1來表示，其中速度為零的點對應到點( 1 , 1 ) 。任何一個雙曲線上的點都能以點( e^w , \ e^{-w} ) 表示，其中的即為快度，同時也是從點( 1 , 1 ) 到點( e^w , \ e^{-w} ) 與原點所構成的雙曲線扇形面積。 也有許多筆者在討論標準閔考斯基圖時，會使用單位雙曲線x^2 - y^2，將快度作為參數曲線的參數。而此時的坐標可以用時鐘和米尺來測量，並選用更加常見的基準，這也是時空理論的基礎。所以快度作為光束空間的雙曲參數，這樣的描述是參考了十七世紀時超越函數理論的發展，以及閔考斯基圖。

在一維空間中
快度出現在勞倫茲變換的線性表示法中，此時勞倫茲變換被表示為向量－矩陣乘積
:
\begin{pmatrix}
c t' \\
x'
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cosh w & -\sinh w \\
-\sinh w & \cosh w
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
ct \\
x
\end{pmatrix}
= \mathbf \Lambda (w)
\begin{pmatrix}
ct \\
x
\end{pmatrix}

矩陣為\begin{pmatrix} p & q \\ q & p \end{pmatrix} 的形式，其中和滿足關係，因此將會落在上。這樣的矩陣形成了不定正交群 O(1,1)，伴隨著由單位反對角矩陣所張出的一維李代數，顯示出快度是這個李代數上的座標，這個作用可在閔考斯基圖上被描繪出來。
在矩陣指數表示法中，可以被表示為\mathbf \Lambda (w) = e^{\mathbf Z w}，其中是矩陣
: \mathbf Z =
\begin{pmatrix}
0 & -1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}

不難證明
:\mathbf{\Lambda}(w_1 + w_2) = \mathbf{\Lambda}(w_1)\mathbf{\Lambda}(w_2)
這顯現出了快度實用的求和性質：若，和 為參考座標系，則
: w_{\text{AC}}= w_{\text{AB}} + w_{\text{BC}}
其中 表示了參考座標系相對於參考座標系的快度。與速度加成式相比，這個式子更為簡潔。

我們可以從上述的勞倫茲轉換看出，勞倫茲因子等同於

:\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2 / c^2}} \equiv \cosh w

因此快度作為一個雙曲角，隱含在勞倫茲轉換中的和β中。我們將快度與速度加成式聯繫在一起

:u=(u_1+u_2)/(1+u_1u_2/c^2)

藉由

:\beta_i = \frac{u_i}{c} = \tanh{w_i}

從而得到

:
\begin{align}
\tanh w &= \frac{\tanh w_1 +\tanh w_2}{1+\tanh w_1\tanh w_2} \\
&= \tanh(w_1+ w_2)
\end{align}

和的乘積時常出現，從先前的討論可知

:\beta \gamma = \sinh w \,

固有加速度（一個加速物體實質感受到的加速度）是快度對於固有時間（一個加速物體本身所量測到的時間）的變化率。假想在物體的運動過程中，與加速中的物體保持相對靜止的一系列“非物理的”參考系，若在這個非物理的慣性系中非相對論性地計算物體的速度，則計算結果將是這個物體的快度。
指數和對數關係
由上述的表達式可以得到

:e^{w} = \gamma(1+\beta) = \gamma \left( 1 + \frac{v}{c} \right) = \sqrt \frac{1 + \tfrac{v}{c}}{1 - \tfrac{v}{c}}

因此

:e^{-w} = \gamma(1-\beta) = \gamma \left( 1 - \frac{v}{c} \right) = \sqrt \frac{1 - \tfrac{v}{c}}{1 + \tfrac{v}{c}}

或是更加清楚地表示為

:w = \ln \left[\gamma(1+\beta)\right] = -\ln \left[\gamma(1-\beta)\right] \,

相對論性都普勒效應因子與快度的關係為k = e^w。

在多維空間中
相對論性速度\boldsymbol \beta與快度\mathbf{w}为下列關係所聯繫

:\mathfrak{so}(3,1) \supset \mathrm{span}\{K_1, K_2, K_3\} \approx \mathbb{R}^3 \ni \mathbf{w} = \boldsymbol{\hat{\beta}} \tanh^{-1}\beta, \quad \boldsymbol{\beta} \in \mathbb{B}^3,

其中的向量\mathbf w是勞侖茲群對應的李代數\mathfrak{o}(3, 1) \approx \mathfrak{so}(3, 1)中，由三個K_1, K_2, K_3張成的三維線性子空間上的座標。而這可以完全類比至上述一維情況時的\mathfrak{o}(1, 1)。因為光速c是速度量值的上限（選用單位使得c = 1），所以速度符合條件|\beta| ，因此速度空間可以用一個半徑為1的開球\mathbb B^3表示。

一般性的快度求和公式為

:\mathbf w = \boldsymbol{\hat \beta}\tanh^{-1}\beta, \quad \boldsymbol \beta = \boldsymbol \beta_1 \oplus \boldsymbol \beta_2,

其中\boldsymbol \beta_1 \oplus \boldsymbol \beta_2對應到速度加成式，\boldsymbol \hat \beta是\boldsymbol \beta方向上的單位向量。這個運算不符合交換律與結合律。斜向角度為\theta的快度\mathbf w_1, \mathbf w_2 之和的模w \equiv |\mathbf w|（歐氏空間中的長度）由給出

:\cosh w=\cosh w_1\cosh w_2 +\sinh w_1\sinh w_2 \cos \theta

快度空間上的幾何結構，透過對應的映射繼承了速度空間上的雙曲幾何。相應地，這個幾何結構可以從相對論性速度的求和公式來推得。因此，二維空間中的快度空間可以有效地透過龐加萊圓盤模型來想像。這是從「實驗室參考系」到一個「粒子運動方向與粒子束方向垂直的參考系」的勞倫茲變換所對應的快度，相關的概念可以參考條目贗快度。

參見
*

• 勞倫茲變換
• 贗快度
• 固有速度
• 相對論

注釋
參考文獻