一阶偏微分方程是只和未知數的一階導數有關的偏微分方程，其型式如下
: F(x_1,\ldots,x_n,u,u_{x_1},\ldots u_{x_n}) =0. \,
以下的應用會用到一阶偏微分方程：建構双曲型偏微分方程的特徵曲面、变分法、一些幾何問題，以及一些解有用到特征线法的氣體動力學簡單模型。若可以找到一阶偏微分方程的解族，可以透過建立解族的包絡線來找到其他的解。
通解及全積分
一阶偏微分方程的通解是指其中包括待定常數的解。若一阶偏微分方程中的待定常數和自變數一樣多，此解則稱為全積分（complete integral）。以下有n個參數的解族
:u=\phi(x_1,x_2,\dots,x_n,a_1,a_2,\dots,a_n)
若滿足\text{det}|\phi_{x_i a_j}|\neq 0的條件，即為全積分。
波方程的特徵曲面
波方程本身是二階偏微分方程，而其特徵曲面為滿足以下方程的等值曲面
: u_t^2 = c^2 \left(u_x^2 +u_y^2 + u_z^2 \right). \,
若令u_t =1，對一般性的影響不大，此時u滿足
: u_x^2 + u_y^2 + u_z^2= \frac{1}{c^2}. \,
用方量的表示方式，令
: \vec x = (x,y,z) \quad \hbox{and} \quad \vec p = (u_x, u_y, u_z).\,
解族的特徵曲面可以表示為
: u(\vec x) = \vec p \cdot (\vec x - \vec{x_0}), \,
其中
: | \vec p \,| = \frac{1}{c}, \quad \text{and} \quad \vec{x_0} \quad \text{is arbitrary}.\,
若x和x0不變，此解的包絡線可以由找到半徑1/c圓球上的點，且u值為定值的點來求得。若 \vec p平行\vec x - \vec{x_0}，此條件會成立。因此，包絡線為
: u(\vec x) = \pm \frac{1}{c} | \vec x -\vec{x_0} \,|.
這個解對應一個半徑會以速度c膨脹或是收縮的圓球。這也是在時空下的光錐。
此方程的初值問題會包括給定t=0 時，u=0 的等值曲面S。這可以由找到所有中心在S上，半徑以速度c膨脹或是收縮的圓球包絡面來求得。包絡面可以由下式求得
: \frac{1}{c} | \vec x - \vec{x_0}\, | \quad \hbox{is stationary for} \quad \vec{x_0} \in S. \,
若 | \vec x - \vec{x_0}\, |和S垂直，上式就會成立，因此包絡線對應和S垂直，速度為c的運動，這也就是Huygens波前建立法：S上的每一點在t=0時發射一個球狀波，較晚時間t的波前就是這些球狀波的包絡線。S的法向量即為光線。
參考資料
外部連結
- [http://www.scottsarra.org/shock/shock.html The Method of Characteristics with applications to Conservation Laws]
相關書目
- R. Courant]and D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics, Vol II, Wiley (Interscience), New York, 1962.
- L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998.
- A. D. Polyanin, V. F. Zaitsev, and A. Moussiaux, Handbook of First Order Partial Differential Equations, Taylor & Francis, London, 2002.
- A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002.
- Sarra, Scott The Method of Characteristics with applications to Conservation Laws, Journal of Online Mathematics and its Applications, 2003.
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