數學上，塞邁雷迪正則性引理（Szemerédi regularity lemma）斷言，給定任意一個足夠大的圖，都可以將其頂點集劃分成若干個差不多一樣大的子集，使得幾乎每兩個不同的子集之間的邊，都具有隨機二部圖的性質。塞邁雷迪於 1975 年引入了該引理較弱的版本，其只適用於二部圖，用作證明塞邁雷迪定理，後來再於 1978 年證明了完整的版本。
及其合作者和高爾斯將正則性方法推廣到超圖上。
定義和引理敍述
塞邁雷迪正則性引理的嚴格敍述須用到下列定義。設 為一幅圖，而 為其頂點集。
密度
設 為 的兩個互斥子集。定義 的密度為
:d(X,Y) := \frac{\left| E(X,Y) \right|},
其中 為一個頂點在 中，而另一個頂點在 中的邊的集合。
ε-正則
對於 , 稱兩個由頂點組成的集合 和 為 -正則，若對任意滿足 和 的子集 和 , 都有
:\left| d(X,Y) - d(A,B) \right| \le \varepsilon.
ε-正則劃分
設 為將 分成 份的劃分。其稱為 -正則劃分，若：
*對每個 都有 與 的大小至多相差 1.
*除了至多 對滿足 的 , 以外，其他的每一對都 -正則。
利用上述定義，可以寫出引理的嚴格敍述。
正則性引理
對任意的 和正整數 , 存在整數 , 其滿足：若 為至少有 個頂點的圖，則存在整數 滿足 , 和一個 -正則劃分將 的頂點集分成 份。
引理的證明所給出的 的上界極大，比如 的 次迭代冪次。若實際的上界並非如此大，而是 的形式的話，則其可應用在其他地方。然而，高爾斯於 1997 年找到了一些圖作為例子，證明 確實可以增長得極快，比如至少為 的 次疊代冪次。由此可見，最佳的上界必定位於 中的第 4 層，因此不屬初等遞歸函數。
推廣
、和塞迈雷迪·安德烈其後（於 1997 年）證明了blow-up 引理 ，其斷言塞邁雷迪正則性引理中的正則對，在特定意義下與完全二部圖具有同樣的性質。若考慮將大而疏的圖，嵌入到一個稠密的圖中，則適用 blow-up 引理來深入研究該嵌入的性質。
陶哲軒以概率方法證明了一條不等式，其推廣了塞邁雷迪正則性引理。
注意，不可能在塞邁雷迪正則性引理中，證明「所有」對都正則。原因是，一些圖（比如）確實需要劃分中有若干對頂點集非正則，儘管按照正則性引理，這樣的對只佔很小一部分。
參考文獻
參見
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