高级Z变换

高級Z轉換（英語：Advanced z-transform，或 modified z-transform）是Z轉換的延伸，是數學及信號處理領域中的工具，它將不是取樣週期整數倍的延遲考慮進去。具有以下形式

:F(z, m) = \sum_{k=0}^{\infty} f(k T + m)z^{-k}

其中

• T為取樣週期

• m為延遲參數（delay parameter），0 \leq m

性質
如果延遲參數m固定，則Z轉換具有的性質在高級Z轉換也都成立。

線性
:\mathcal{Z} \left\{ \sum_{k=1}^{n} c_k f_k(t) \right\} = \sum_{k=1}^{n} c_k F_k(z, m)

時移
:\mathcal{Z} \left\{ u(t - n T)f(t - n T) \right\} = z^{-n} F(z, m)

Z域的尺度性質
:\mathcal{Z} \left\{ f(t) e^{-a\, t} \right\} = e^{-a\, m} F(e^{a\, T} z, m)

微分
:\mathcal{Z} \left\{ t^y f(t) \right\} = \left(-T z \frac{d}{dz} + m \right)^y F(z, m)

終值定理
:\lim_{k \to \infty} f(k T + m) = \lim_{z \to 1} (1-z^{-1})F(z, m)

範例
以下計算 f(t) = \cos(\omega t)的高級Z轉換：

:\begin{align}
F(z, m) & = \mathcal{Z} \left\{ \cos \left(\omega \left(k T + m \right) \right) \right\} \\
& = \mathcal{Z} \left\{ \cos (\omega k T) \cos (\omega m) - \sin (\omega k T) \sin (\omega m) \right\} \\
& = \cos(\omega m) \mathcal{Z} \left\{ \cos (\omega k T) \right\} - \sin (\omega m) \mathcal{Z} \left\{ \sin (\omega k T) \right\} \\
& = \cos(\omega m) \frac{z \left(z - \cos (\omega T) \right)}{z^2 - 2z \cos(\omega T) + 1} - \sin(\omega m) \frac{z \sin(\omega T)}{z^2 - 2z \cos(\omega T) + 1} \\
& = \frac{z^2 \cos(\omega m) - z \cos(\omega(T - m))}{z^2 - 2z \cos(\omega T) + 1}
\end{align}

若 m=0，則F(z, m)簡化為

:F(z, 0) = \frac{z^2 - z \cos(\omega T)}{z^2 - 2z \cos(\omega T) + 1}

正是f(t) = \cos(\omega t)的Z轉換

參考文獻

• Eliahu Ibrahim Jury, Theory and Application of the z-Transform Method, Krieger Pub Co, 1973. .

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