第一价格密封拍卖（）是拍卖的一个常见类型，属于盲拍（）的一种。所有竞拍者同时提交密封的出价，没有人知道其他人的出价。出价最高者将以他们出的价格获得拍卖品。
策略分析
在FPSBA中，每个出价者对拍卖品的估价是影响其出价的重要因素。
假设Alice是一位竞拍者，她的估价是a。那么，如果Alice是理性的，就有以下结论：
- Alice不可能出大于a的价格，这样只会让她的净收益变为负数。
- 如果Alice的出价恰好为a，那么她的净收益必定为零。
- 如果Alice的出价小于a，她可能会获得正的净收益，但这取决于其他人是否出比她更高的价格。
Alice想要出一个能让她赢得拍卖品的最小价格，并且这个价格小于a。例如，如果有另一个竞拍者Bob，他的出价y满足y，那么Alice就会出价y+\varepsilon（其中\varepsilon是她最低可以加的价格，例如1分钱）。
然而，Alice无从知晓其他竞拍者出的价，她更不知道其他人的估价如何。所以，这是一个贝叶斯博弈——每个参与者无法完全得知其他参与者的收益函数。
即使只有两位参与者，要求得这类博弈的纳什均衡也不容易。一个简化的情形是，所有参与者的估价是独立同分布的，即所有参与者的估价都满足同一个概率分布。
举例
设两个竞拍者Alice和Bob的估价分别是a和b，且这两个值满足[0,1]上的连续型均匀分布。那么，这个贝叶斯博弈的纳什均衡为每个竞拍者都选择自己估价的一半：Alice出价a/2，Bob出价b/2。
证明：以下从Alice的角度讨论。假定她已知Bob的出价是f(b) = b/2，但她不知道b等于多少，我们来求Alice的最佳策略。假设Alice出价x，那么有两种情况：
- x\geq f(b)，此时Alice赢得拍卖品，净收益是a-x。这种情况发生的概率是f^{-1}(x)=2x。
- x，此时Alice未赢得拍卖品，净收益为0。这种情况发生的概率是1-f^{-1}(x)。
因此，Alice的预期收益是G(x) = f^{-1}(x)\cdot(a-x)。当G'(x)=0时预期收益取到最大值，其中G'(x)为：
:G'(x) = - f^{-1}(x) + (a-x)\cdot {1 \over f'(f^{-1}(x))}
当Alice的出价x满足以下条件时导数为零：
:f^{-1}(x) = (a-x)\cdot {1 \over f'(f^{-1}(x))}
现在，因为纳什均衡显然是对称的，Alice的出价x也等于f(a)。于是有：
:f^{-1}(f(a)) = (a-f(a))\cdot {1 \over f'(f^{-1}(f(a)))}
:a = (a-f(a))\cdot {1 \over f'(a)}
:a f'(a) = (a-f(a))
解得f(a) = a/2。
一般情形
考虑所有的FPSBA。记：
- v_i为第i位竞拍者的估价；
- y_i为除第i位竞拍者以外的最大估价，即y_i = \max_{j\neq i}{v_j}。
FPSBA有一个对称纳什均衡，即第i位竞拍者出价：
:E[y_i | y_i
与第二价格密封拍卖的比较
下表列出了FPSBA和第二价格密封拍卖（SPSBA）的共同点和不同点：
拍卖商的收入是用上述样例计算的，其中每个参与者的估价独立均匀地随机分布在[0,1]中。不妨设n=2：
- 在第一价格密封拍卖中，拍卖商获得两人出价中较大者，即\max(a/2,b/2)。
- 在第二价格密封拍卖中，拍卖商获得两人估价中较小者，即\min(a,b)。
以上两种情况中，拍卖商的预期收入都是1/3。
两种拍卖的预期收入相同并不是一个巧合，而是因为它们是的特例，在每个参与者估价都独立的情况下这条规则成立。如果估价不独立，则变为，此时拍卖商在第二价格密封拍卖中的收入大于第一价格密封拍卖。
参考文献
外部链接
- [http://math.stackexchange.com/q/1173548/29780 Nash equilibrium in first price auction] - in math.stackexchange.com.
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