截線定理（英語：Intercept theorem），是平面幾何中的基本定理之一。截線定理說明，平面上的一個三角形中，若在其中一條腰的中點作一條直線，與其底邊平行，則該線穿過另一條腰的中點。這定理可推廣到梯形上，以及一般化至任意分割比例的情況。截線定理與另外兩條幾何定理中點定理和等比定理有密切關係。
定理
截線定理的最基本形式是在三角形上的應用。
圖中有三角形 ABC，作一條直線 DE 與底邊 AB 平行。
截線定理說明，若 AD=DC，則 BE=EC。
換句話說，DE 是三角形 ABC 的中位線。
這定理能簡單推廣到梯形上應用。
圖中有梯形 FGIH，其中 FG \parallel HI。作一條直線 JK 與上底 HI 和下底 FG 平行。
截線定理說明，若 FJ=JH，則 GK=KI。
同樣地，JK 是梯形 FGIH 的中位線。
一般化定理
對於平行線將腰分割成任意比例的情形，一般化截線定理則給出，左右兩條腰的分割比例相等。
在上圖的三角形 ABC 中，若 DE \parallel AB，則有 \frac{AD}{DC}=\frac{BE}{EC}。
同樣地，在梯形 FGIH，若 JK \parallel FG \parallel HI，則有 \frac{FJ}{JH}=\frac{GK}{KI}。
證明
這定理能以相似三角形簡單證明。
考慮上圖的 \Delta ABC 和 \Delta DEC。由於
*\angle ACB = \angle DCE （公共角）
*\angle CAB = \angle CDE （平行線的同位角）
*\angle CBA = \angle CED （平行線的同位角）
所以\Delta ABC \sim \Delta DEC。（等角）
由此可得 \frac{AC}{DC}=\frac{BC}{EC} 。（相似三角形的對應邊）
因此 \frac{AD}{DC}=\frac{BE}{EC}。
證畢。
對於梯形的情況，考慮梯形 FGIH ，在 I 上作一直線，與 FH 平行，並與 JK 和 FG 分別相交於 L 和 M。
由定義可知，FMLJ 和 JLIH 是平行四邊形。
因此 FJ=ML 及 JH=LI。（平行四邊形的對邊）
上面已證明，由 JK \parallel FG，可知 \frac{ML}{LI}=\frac{GK}{KI}。
代入可得 \frac{FJ}{JH}=\frac{GK}{KI}。
證畢。
參見
*平面幾何
*三角形
*梯形
*中位線
*相似三角形
*中點定理
*等比定理
*宇恆定理
参考来源
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外部链接
- [http://planetmath.org/intercepttheorem 截线定理（PlanetMath）]
Alexander Bogomolny: [http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/ThalesTheorems.shtml Thales' Theorems] and in particular [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/GeoGebra/ThalesTheorem.shtml Thales' Theorem*] at Cut-the-Knot
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