舒勃尼科夫-德哈斯效应

舒勃尼科夫-德哈斯效应（Shubnikov–de Haas effect、SdH）是指在低温和强磁场条件下，材料的电导率随磁场变化出现振荡的现象，最初由万德尔·德哈斯和列夫·舒勃尼科夫于1930年发表。舒勃尼科夫-德哈斯效应是物质内在的量子力学性质在宏观上的一种表现。舒勃尼科夫-德哈斯效应也常常被用于确定载流子的有效质量。

概述
在低温和强磁场条件下，位于导带的自由电子的运动模式类似于简谐振子。若磁场强度发生变化，简谐振子的振荡周期也会随之变化，产生的能谱由朗道能级构成。这些朗道能级会进一步分裂成塞曼能级。每一朗道能级内的共振能量、塞曼能量和电子态的数量（eB/h）都会随磁场的增大而增大。当某一能级高于费米能，位于此能级的电子开始自由流动，造成材料的电输运性质和热力学性质产生周期性的振荡，其中电导率的振荡即为舒勃尼科夫-德哈斯效应。

理论
对于盒中的，在有磁场的条件下，系统的能量特征值可用朗道能级来描述。如右图所示，每一能级在中央区域都较为平坦，而在边缘区域都向上弯曲。

若费米能 EF 位于图一所示的两个朗道能级之间（红色虚线），电子在材料内部的散射只发生在边缘部分。对应的电子态常被称作“边缘通道（edge channels）”。

Landauer-Büttiker 理论（弹道输运）可用于描述此类电子输运。运用 Landauer-Büttiker 理论可计算多个接触点 1 ≤ m ≤ n 之间的净电流 Im。若化学势为 µm，则

{{NumBlk|:|I_m = 2 \frac{e\cdot i}{h} \left(\mu_m - \sum_{l\neq m} T_{ml} \mu_l \right)|}}

其中 e 为基本电荷，h 为普朗克常数，i 表示边缘通道的数量。矩阵 Tml 表示从一个不为 m 的接触点 l 传输一个电子到接触点 m 的概率。净电流 Im 在 () 式中由进入接触点 m 的电流和从接触点 m 传导至所有其他接触点 l ≠ m 的电流构成。

应用
舒勃尼科夫-德哈斯效应可以用于确定样品的二维电子密度。对于给定的磁通量 \Phi，每一朗道能级上自旋 S = 1/2 的电子的极大值 D 为：

{{NumBlk|:|D = \left(2 S + 1\right) \frac{\Phi}{\Phi_0} = 2 \frac{\Phi}{\Phi_0}|}}

代入磁通量量子表达式 Φ0 = h ⁄ 2e，以及磁通量 Φ = B ∙ A，式 () 化为：

: D = 2 \frac{e\cdot B\cdot A}{h}

令 N 为单位面积上状态数量的最大值，则 D = N ∙ A 且

: N = 2 \frac{e\cdot B}{h}

对于给定的 i 个边缘通道，且每一个边缘通道都在单位面积内被 N 个电子填满，单位面积内的总电子数 n 为

: n = i\cdot N = 2 \cdot i \cdot \frac{e\cdot B}{h}

单位面积内的总电子数 n 常被当作样品的电子密度。另外，

: B_i = \frac{n\cdot h}{2 \cdot e \cdot i}
中测量到的舒勃尼科夫-德哈斯最小值点关于其对应的磁通量密度的倒数 1/Bi 呈线性相关。]]

: \frac{1}{B_i} = \frac{2 \cdot e \cdot i}{n\cdot h}
{{NumBlk|:|\Delta\left(\frac{1}{B}\right) = \frac{1}{B_{i+1}}-\frac{1}{B_i} = \frac{2 \cdot e}{n\cdot h}|}}

对于给定的样品，式 () 右侧的物理量均为常数。若绘制边缘通道 i 关于其对应的磁通量密度的倒数 1/Bi，可得一条斜率为 \frac{2 \cdot e}{n\cdot h} 的直线，由斜率可计算样品的电子密度 n{{#tag:ref|式 () 所用的是国际单位制。在厘米-克-秒制中，\Delta\left(\frac{1}{B}\right) = \frac{2 \cdot e}{n\cdot h\cdot c}。|group="注"}}。例如，右图中测量了高掺杂的Bi2Se3的舒勃尼科夫-德哈斯效应，并对得到的数据点进行线性拟合。根据所得的斜率 0.00618/T，可计算此样品的电子密度

: n = \frac{2\cdot e}{0.00618/\mathrm{T}\cdot h} \approx 7.82 \cdot 10^{14}/\mathrm{m}^2

另外，通过施加不同方向的磁场并测量振荡周期，舒勃尼科夫-德哈斯效应还能用于构建样品电子费米面的图像。

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