独立集

独立集（英语：Independent set）是图论中的概念。一个独立集（也称为稳定集）是一个图中一些两两不相邻的顶点所形成的集合。换句话说，独立集S由图中若干顶点组成，且S中任两个顶点之间没有边。等价地，图中的每条边至多有一个端点属于S。一个独立集的基数是它包含顶点的数目。

如果往图G的独立集S中添加任一个顶点都会使独立性丧失（亦即造成某两点间有边），那么称S是极大独立集。如果S是图中所有独立集之中基数最大的，那么称S是最大独立集，且将该基数称为G的独立数，记为\alpha(G)。一般来讲，图G中可能存在多个极大独立集；最大独立集亦如是。最大独立集一定是极大独立集，但反之未必。

给定一张图，寻找其中一个最大独立集的问题被称为最大独立集问题。该问题已知是NP困难的最优化问题，且即便试图以常数倍近似也是NP困难的。因此，计算机科学家普遍相信不存在解决该问题的高效算法，无论是精确求解还是以常数倍近似求解。

数学定义
对于图G = (V,E)，如果顶点子集S \subseteq V满足\forall u,v \in S, \{u,v\} \not\in E，则称S为G的一个独立集，称|S|为该独立集的基数。

对于独立集S，如果\forall v \in V \setminus S, \exists u \in S: \{u,v\} \in E，则称S是极大独立集。直观而言，极大意味着S不能单纯通过加入顶点来扩充。

如果|S|是所有独立集中最大的，那么称S是最大独立集，并将|S|称作G的独立数（independence number），记作\alpha(G)。最大独立集一定是极大独立集；若不然，我们总能加入顶点来扩充之，从而与最大的定义矛盾。

整数规划形式
计算独立数\alpha(G)的问题可以等价表达成如下的整数规划：

:
\begin{aligned}
\max \quad &\sum_{v \in V} x_v \\
\text{s.t.} \quad & x_u + x_v \leq 1 & \forall \{u,v\} \in E \\
& x_v \in \{0,1\} & \forall v \in V
\end{aligned}

其中，变量x_v取1代表把顶点v放入独立集，取0则反之。第一条线性约束表达了每条边的两个端点不能同时放入独立集中。

与其它图论对象的联系
与顶点覆盖的关系
图的一个顶点覆盖（vertex cover）是顶点集的一个子集，使得图中每条边都与其中某点相邻。基数最小的顶点覆盖称为图的最小顶点覆盖。独立集与顶点覆盖的定义互补，因此不难看出，S是图G的独立集当且仅当V \setminus S是G的顶点覆盖。于是，\alpha(G)就等于G的顶点数减去G的最小顶点覆盖的基数。

与团的关系
在图论中，团（clique）是一个与独立集密切相关的概念。图G = (V,E)的一个团指的是一个顶点子集C \subseteq V，使得C中顶点两两相邻。用图论的语言，团即一个完全的子图。G的最大团的基数称作G的团数（clique number），记作 \omega(G)。 如果说独立集是一种水火不容的顶点集，那么团就是一种息息相关的顶点集。不难看出，一个图的团是其补图的独立集，反之亦然。这个一一对应关系使得二者性质能够相互转述，而与二者相关的问题往往等价。例如，图的团数等于其补图的独立数，即 \omega(G)=\alpha(\overline{G})。类似地，图G中团的总数等于补图\overline{G}中独立集的总数。

对于一般的图而言，寻找最大团是NP困难的，从而寻找最大独立集也是NP困难的。计算机科学家普遍相信没有算法能在确定性多项式时间解决之。但是，对于二分图这一特殊情形，则有多种方法可以高效地求解。例如，可以求解松弛后的线性规划并对结果作整数化处理，也可以使用匈牙利算法求出最小顶点覆盖后再转化为最大独立集。

与点连通度的关系
图的点连通度\kappa(G)定义为：最少需要删除\kappa(G)个顶点方能使得图不复连通。独立数与点连通度有着简单关系

: \kappa(G) \leq n - \alpha(G)

原因是：设S是一个最大独立集，把V \setminus S的顶点全部删掉以后，残余下来的正是独立集S，而它自然是不连通的。

与着色数的关系
图的着色（proper colouring）即为每个顶点染上一种颜色，使得任意相邻顶点颜色均不同（但不相邻顶点颜色可以相同）。对图G进行着色所需的最少颜色数被称为G的着色数，记作\chi(G)。独立数和着色数之间存在以下关系：

: \frac{n}{\alpha(G)} \leq \chi(G) \leq n - \alpha(G) + 1

其中n是G中的顶点数。
左侧不等式：设着色f: V \to [\chi(G)]是一个使用颜色最少的方案，我们构造\chi(G)个集合S_1, \dots, S_{\chi(G)}如下。S_i := \{v \in V \mid f(v) = i\}。也就是说，把颜色相同的节点放入同一个集合。这些集合构成了顶点集的一个划分，所以n = \sum_{i=1}^{\chi(G)} |S_i|。注意到每个集合都各是一个独立集（因为相同颜色的顶点之间不允许有边），所以|S_i| \leq \alpha(G)对它们均成立。代入先前等式便有n \leq \chi(G) \cdot \alpha(G)

右侧不等式：设S是一个最大独立集，我们据此构造一种着色f。首先，f给S中所有顶点均染上颜色1（这必定不会造成冲突）。其次，f给其余顶点分配互异且非1的颜色。容易看出f仅仅使用了1 + |V \setminus S| = 1 + n - \alpha(G)种颜色，因此着色数必定不少于该数。

计算复杂性
求最大独立集是计算机科学中的重要问题，因为许多现实场景可以抽象成该问题。例如，人们希望组织一场会议，候选的某些演讲者之间或有嫌隙，不愿同时出席。可以将这种候选人之间敌意关系抽象成一张图，两个候选人间有边当且仅当二者不和。那么，最终的演讲者名单就应当是这张图的一个独立集。会议组织者希望邀请尽可能多的演讲者以充实内容，也就相当于寻找图中的最大独立集。

然而，计算复杂性理论在以下两方面的进展暗示该问题难以求解。

判定版本的NP完备性
考虑最大独立集问题的判定版本：给定一张图和一个目标I，图中是否存在一个独立集的基数不小于I？在先前的例子中，相当于：会议组织者预先设定了一个目标邀请人数，问这个目标能否实现？其实，判定版本并不比原始版本简单。假设我们能够高效解决判定版本，那么也可以借助自归约性质（self-reducibility），相对高效地解决原始版本。

最大独立集问题的判定版本是NP完备的，这意味着，除非\textsf{P} = \textsf{NP}（而人们普遍相信这是不可能的），否则不存在确定性多项式时间算法解决之。其完备性的证明可以参见。

优化版本的不可近似性
考虑最大独立集问题的优化版本：给定一张图G，计算\alpha(G)。该问题是MAXSNP完备的，这意味着，除非\textsf{P} = \textsf{NP}，否则不存在确定性多项式时间算法能以任意精度近似之（PTAS）。

还可以证明：假若存在某个高效算法能以某常数c > 0为近似比计算该问题，那么就能据此构造出一个以任意精度近似计算该问题的高效算法（PTAS）。结合前面的结论可知：除非\textsf{P} = \textsf{NP}，否则不存在高效算法能以常数倍近似计算该问题。

参考资料