对合矩阵

在数学上， 对合矩阵是指逆为自身的矩阵，即，称矩阵\mathbf{A}是一个对合矩阵当且仅当\mathbf{A}^2=\mathbf{I}。对合矩阵是单位矩阵的方根。 

例
如果a^{2}+bc=1，则2×2实矩阵 \begin{pmatrix}a & b \\ c & -a \end{pmatrix}  是对合矩阵。

三类基本矩阵中有一种是对合矩阵，即行交换的基本矩阵。 在特殊情况下，另一类的基本矩阵，即表示对行或列乘以 −1 的矩阵也是对合矩阵；实际上这是符号矩阵的一个特例——所有符号矩阵均是对合的。

下面是一些对合矩阵的简单例子。
:
\begin{array}{cc}
\mathbf{I}=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
; &
\mathbf{I}^{-1}=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\\
\\
\mathbf{R}=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
; &
\mathbf{R}^{-1}=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\\
\\
\mathbf{S}=\begin{pmatrix}
+1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & -1
\end{pmatrix}
; &
\mathbf{S}^{-1}=\begin{pmatrix}
+1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & -1
\end{pmatrix}
\\
\end{array}

这里
: \mathbf{I} 是单位矩阵 (显然对合);
: \mathbf{R} 是交换过一对行的单位矩阵；
: \mathbf{S} 是符号矩阵。
显然，任何由对称矩阵构成的块-对角阵 构成的矩阵也是对合矩阵。

对称性
一个对称的对合矩阵也是一个正交矩阵，并因此表示一个保距变换 (保持欧几里德距离的线性变换)。反之，每个正交对合矩阵均是对称的。 一个特别的例子是，每个反射矩阵均是对合的。

性质
任何域上对合矩阵的行列式是±1.

如果 \mathbf{A} 是一*个 n × n* 矩阵，则A是对合的当且仅当½(A + I)是 幂等的。 这一关系给出了对合矩阵和幂等矩阵之间的双射。

如果 \mathbf{A} 是M(n,\mathbb{R})（实数域上的矩阵代数）上的矩阵，则由 \mathbf{A} 产生的子代数 {x I + y A: x、y ∈ℝ} 与双曲复数同构。

如果 \mathbf{A}和 \mathbf{B} 两个对合矩阵可交换，则 \mathbf{AB} 也是对合的。

如果 \mathbf{A} 是对合矩阵则 A 的任意自然数次幂均是对合的。 事实上， \mathbf{A}^n 在 n 是奇数时等于 \mathbf{A}，在 n 是偶数时等于 \mathbf{I}。

另见

• 仿射对合

参考文献