線性化重力

線性化重力（）是廣義相對論中一個近似方案，其忽略時空度規張量的非線性貢獻。這使得許多研究問題得以簡化。

方法
線性化重力中，時空度規張量g處理為愛因斯坦場方程式的一個解（通常是閔可夫斯基時空）與一微擾項h兩者之和：
:g \, =\eta+h

其中η是非動態的背景度規，而被微擾了h——代表真實度規g自平直時空η偏移了多少。

微擾項的處理是採用微擾理論的方法。形容詞「線性化」表示對h作展開式，超過1次方（線性項）以上的微擾項（h的二次方項、h的三次方項等等......）被忽略。

線性化重力下的愛因斯坦重力場方程式
已知

g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}

因此，克里斯托費爾符號可以被寫為

\Gamma^{\alpha}_{\beta\gamma}=\frac{1}{2}\eta^{\alpha\delta}(\partial_{\beta}h_{\delta\gamma}+\partial_{\gamma}h_{\beta\delta}-\partial_{\delta}h_{\beta\gamma})+\mathcal{O}(|h|)

由於黎曼曲率張量可以被表達成

R^{a}_{bcd}=\partial_{c}\Gamma^{a}_{bd}-\partial_{d}\Gamma^{a}_{bc}+\Gamma^{a}_{cm}\Gamma^{m}_{bd}-\Gamma^{a}_{dm}\Gamma^{m}_{bc}

因此，里奇曲率張量可被寫為

\begin{align}
R_{\mu\nu}&=\partial_{\alpha}\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}-\partial_{\nu}\Gamma^{\alpha}_{\mu\alpha}\\
&=\frac{1}{2}\{h^{\alpha}_{\ \nu,\mu\alpha}+h^{\alpha}_{\ \mu,\nu\alpha}-h_{\mu\nu,\alpha}^{\ \ \ \ \ \alpha}-h^{\alpha}_{\ \alpha,\mu\nu}-h^{\alpha}_{\ \mu,\alpha\nu}+h_{\mu\alpha,\nu}^{\ \ \ \ \ \alpha}\}
\end{align}

因此，愛因斯坦張量 與愛因斯坦重力場方程式可被寫為

\begin{align}
G_{\mu\nu}&=R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R\\
&=\frac{1}{2}\{\partial_{\mu}\partial_{\alpha}h^{\alpha}_{\ \nu}+\partial_{\nu}\partial_{\alpha}h^{\alpha}_{\ \mu}-\partial_{\alpha}\partial^{\alpha}h_{\mu\nu}-\partial_{\mu}\partial_{\nu}h\}-\frac{1}{2}\eta_{\mu\nu}(\partial_{\alpha}\partial_{\beta}h^{\alpha\beta}-\partial_{\alpha}\partial^{\alpha}h)\\
&=8\pi T_{\mu\nu}
\end{align}

若選擇適當的規範，線性化重力場的愛因斯坦場方程可以被寫為一個二階的波方程式。