有限生成

在抽象代數中，有限生成意謂一個代數結構中存在有限多個元素 x_1, \ldots, x_n，使得每個元素都能由這些元素的代數運算生成；或者形式地說，謂該結構能表成有限個生成元的自由對象的商（在適當的範疇內）。這類對象有時也稱為有限型的。

以下是常見的特例：

• 有限生成群：若群 G 中存在一個有限子集 S，使得 G 中的任一元素都能以 S 的元素及其逆元的連乘積表示，則稱 G 為有限生成群。
• 有限生成阿贝尔群
• 有限生成模：設 R 為環，若左 R-模 M 中存在有限多個元素 m_1, \ldots, m_n，使得 M = Rm_1 + \cdots + Rm_n，則稱 M 為有限生成模；對右 R-模的定義類此。有限維向量空間是其特例。
• 有限生成代數：設 R 為交換環，若 R-代數 A 中存在有限多個元素 a_1, \ldots, a_n，使得每個 A 的元素都能表成多項式 f(a_1, \ldots, a_n)，其中 f \in R[X_1, \ldots, X_n]。