電勢

在静電學裡，電勢（electric potential/ ePtntl）又稱-{zh-cn:电位;zh-tw:電動勢;zh-hk:電位}-（eForce/ eFrc)，是描述電場中某一點之能量高低性質的物理純量，操作型定義為“電場中某處的電勢”等於“處於電場中該位置的單位電荷所具有的電勢能”，單位用伏特。

電勢的數值不具有絕對意義，只具有相對意義，因此為了便於分析問題，必須設定一個參考位置，並把它設為零，稱為零勢能點。通常，會把無窮遠處的電勢設定為零。那麼，電勢可以定義如下：假設檢驗電荷從無窮遠位置，經過任意路徑，克服電場力，以緩慢、沒有產生加速度的方式移動到某位置，則在這位置的電勢，等於因移動檢驗電荷所做的功與檢驗電荷的電荷量的比值。在國際單位制裏，電位的單位為伏特（\scriptstyle{\text{V} = \text{J}/\text{C}}）（Volt），它是為了紀念意大利物理學家亞歷山德羅·伏特（Alessandro Volta）而命名。

電勢必需滿足帕松方程式，同時符合相關邊界條件；假設在某區域內的電荷密度為零，則帕松方程式約化為拉普拉斯方程式，電勢必需滿足拉普拉斯方程式。

在電動力學裡，當含時電磁場存在的時候，電勢可以延伸為「廣義電勢」。特別注意，廣義電勢不能被視為電勢能每單位電荷。

簡介
處於外電場的帶電粒子會受到外電場施加的作用力，稱為電場力，促使帶電粒子加速運動。對於帶正電粒子，電場力與電場同方向；對於帶負電粒子，電場力與電場反方向。電場力的數值大小與電荷量、電場數值大小成正比。

作用力與勢能之間有非常直接的關係。隨著物體朝著作用力的方向的加速運動，物體的動能變大，勢能變小。例如，一個石頭在山頂的重力勢能大於在山腳的重力勢能。隨著物體的滾落，重力勢能變小，動能變大。

對於某種特別作用力，科學家可以定義其向量場和其位勢，使得物體因為這向量場而具有的勢能，只與物體位置、參考位置之間的距離有關。稱這種作用力為保守力，這種向量場為保守場。

例如，重力、靜電場的電場力，都是保守力。靜電場的純量勢稱為電勢，或稱為靜電勢。

電勢和磁向量勢共同形成一個四維向量，稱為四維勢。從某一個慣性參考系觀察到的四維勢，應用勞侖茲變換，可以計算出另外一個慣性參考系所觀察到的四維勢。

靜電學裏的電勢
在靜電學裏，電場\mathbf{E}內某位置\mathbf{r}的電勢\phi，以方程式定義為分離之後，找到每一個常微分方程式的通解（通常為一組本徵方程式的疊加），電勢可以表達為這些通解的乘積。將這表達式與邊界條件相匹配，就可以設定一般解的係數，從而找到問題的特解。根據拉普拉斯方程式的唯一性定理，這特解也是唯一的正確解答。

兩個半平面導體案例
假設在xy-平面的無限平面導體被一條位於y=0的絕緣線條分為兩半，兩個處於y+、y--半平面的導體的電勢分別設定為+V、-V，則計算z+-半空間任意位置的電勢這問題，由於邊界條件的幾何形狀適合用直角坐標來描述，可以以直角坐標(x,y,z)將拉普拉斯方程式表示為：
:\nabla^2 \phi=\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2 }+\frac{\partial ^2\phi}{\partial y^2 }+\frac{\partial^2\phi}{\partial z^2 }=0。

因為這案例與x-坐標無關，方程式可以簡化為
:\nabla^2 \phi(y,z)=\frac{\partial ^2\phi}{\partial y^2 }+\frac{\partial^2\phi}{\partial z^2 }=0。

應用分離變數法，猜想解答的形式為
:\phi(y,z)=Y(y)Z(z)。

將這公式代入拉普拉斯方程式，則可得到
:\frac{1}{Y(y)}\ \frac{\mathrm{d}^2 Y(y)}{\mathrm{d}y^2}+\frac{1}{Z(z)}\ \frac{\mathrm{d}^2 Z(z)}{\mathrm{d}z^2}=0。

注意到這方程式的每一個項目都只含有一個變量，並且跟其它變量無關。所以，每一個項目都等於常數：
:\frac{1}{Y(y)}\ \frac{\mathrm{d}^2 Y(y)}{\mathrm{d}y^2}=C、
:\frac{1}{Z(z)}\ \frac{\mathrm{d}^2 Z(z)}{\mathrm{d}z^2}=-C。

這樣，一個二次偏微分方程式被改變為兩個簡單的二次常微分方程式。解答分別為
:Y(y)=A_1 e^{iky}+A_2 e^{-iky}、
:Z(z)=B_1 e^{kz}+B_2 e^{-kz}；

其中，A_1(k)、A_2(k)、B_1(k)、B_2(k)都是係數函數。

當z趨向於無窮大時，Z(z)趨向於零，所以，B_1=0。綜合起來，電勢為
:\phi(y,z)=\int_0^{\infty}(A_1 e^{iky}+A_2 e^{-iky})e^{-kz}\mathrm{d}k。

由於在z=0，y+、y--半平面的電勢分別為+V、-V，所以，
:當y>0時，\int_0^{\infty}(A_1 e^{iky}+A_2 e^{-iky})\mathrm{d}k=+V、
:當y時，\int_0^{\infty}(A_1 e^{iky}+A_2 e^{-iky})\mathrm{d}k=-V。

應用傅立葉變換，可以得到
:A_1(k)=\frac{V}{2\pi}\left( \int_0^{\infty} e^{-iky'}\mathrm{d}y'-\int_{-\infty}^0 e^{-iky'}\mathrm{d}y' \right)、
:A_2(k)=\frac{V}{2\pi}\left( \int_0^{\infty} e^{iky'}\mathrm{d}y'-\int_{-\infty}^0 e^{iky'}\mathrm{d}y' \right)。

所以，由A_1(k)項目貢獻出的電勢為
:\begin{align}\phi_1 & =\frac{V}{2\pi}\int_0^{\infty}\mathrm{d}k\left\{\int_0^{\infty}e^{ik(y-y')-kz}\mathrm{d}y' - \int_{-\infty}^0e^{ik(y-y')-kz}\mathrm{d}y' \right\} \\
& =-\ \frac{V}{2\pi}\int_0^{\infty}\frac{\mathrm{d}y'}{i(y-y')-z}+\ \frac{V}{2\pi}\int_{-\infty}^0\frac{\mathrm{d}y'}{i(y-y')-z} \\
\end{align} 。

類似地，由A_2(k)項目貢獻出的電勢為
:\begin{align}\phi_2 & =\frac{V}{2\pi}\int_0^{\infty}\mathrm{d}k\left\{\int_0^{\infty}e^{-ik(y-y')-kz}\mathrm{d}y' - \int_{-\infty}^0e^{-ik(y-y')-kz}\mathrm{d}y' \right\} \\
& =-\ \frac{V}{2\pi}\int_0^{\infty}\frac{\mathrm{d}y'}{-i(y-y')-z}+\ \frac{V}{2\pi}\int_{-\infty}^0\frac{\mathrm{d}y'}{-i(y-y')-z} \\
\end{align} 。

總電勢為
: \int_{\mathbb{V}} \left( \phi \nabla^2 \psi - \psi \nabla^2 \phi\right)\ \mathrm{d}^3 r= \oint_{\mathbb{S}} \left( \phi {\partial \psi \over \partial n} - \psi {\partial \phi \over \partial n}\right)\ \mathrm{d}^2 r；

其中，\mathbb{V}是積分體積，\mathbb{S}是包住\mathbb{V}的閉表面，\mathrm{d}^2 r是微小面元素，\partial\phi \over \partial n或\partial\phi \over \partial n都是取垂直於閉表面\mathbb{S}的法向導數，都是從積分體積\mathbb{V}朝外指出。

設定\phi(\mathbf{r}') 為在\mathbf{r}' 的電勢，\psi=\frac{1}為\mathbf{r}' 與\mathbf{r} 之間的距離。應用帕松方程式\nabla^2\phi(\mathbf{r})=-\rho/\epsilon_0 ，則可得到
: \int_{\mathbb{V}'} \left[ \phi(\mathbf{r}') \nabla^2 \left(\frac{1}\right) + \frac{\rho(\mathbf{r}')}{\epsilon_0 |\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} \right]\mathrm{d}^3 r' = \oint_{\mathbb{S}'} \left[ \phi\ {\partial \over \partial n'}\left(\frac{1}\right) - \left(\frac{1}\right) {\partial \phi \over \partial n'}\right]\mathrm{d}^2 r'。

再應用向量恆等式
: \nabla^2 \left(\frac{1}\right)=-4\pi\delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}')。

假設檢驗位置\mathbf{r}在積分體積\mathbb{V}'內，則可得到
:\phi(\mathbf{r}) =\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int_{\mathbb{V}'} \frac{\rho(\mathbf{r}')}\ \mathrm{d}^3 r' +\frac{1}{4 \pi}\oint_{\mathbb{S}'} \left[\left(\frac{1}\right) {\partial \phi \over \partial n'}-\phi\ {\partial \over \partial n'}\left(\frac{1}\right)\right]\mathrm{d}^2 r'。

這方程式右手邊的體積分就是電勢的方程式（1），而面積分就是因為邊界條件而添加的項目。這是\mathbb{V}'體內與體外之間的邊界曲面。面積分的第一個項目要求給定在邊界曲面的法向電場，即E_{n'}= -{\partial \phi \over \partial n'}，也就是面感應電荷密度\sigma=\epsilon_0 E_{n'}。面積分的第二個項目要求給定在邊界曲面的電勢\phi。假若能夠知道積分體積內的電荷密度、在閉曲面的面電荷密度與電勢，就可以計算出在積分體積內任意位置的電勢。

根據柯西邊界條件，有時候，給定在邊界曲面的法向電場與電勢，可能會因為給定過多邊界條件，而造成無法計算出一致的電勢的狀況。實際而言，只要給定法向電場或電勢，兩者之一，就可以計算出電勢。
:\begin{align}\frac{1}
& \equiv \frac{1}{2\pi^2}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}^3 k \frac{e^{i\mathbf{k}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}}{k^2} \\
& = \frac{1}{2\pi^2}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}k_x\ \mathrm{d}k_y e^{ik_x(x-x')+ik_y(y-y')}\int_{-\infty}^{\infty}\ \mathrm{d}k_z \frac{e^{ik_z(z-z')}}{k_x^2+k_y^2+k_z^2} \\
\end{align} 。

現在，必需找到格林函數G_D(\mathbf{r},\mathbf{r}')=G(\mathbf{r},\mathbf{r}')+H(\mathbf{r},\mathbf{r}')，滿足狄利克雷邊界條件G_D((x,y,0),\mathbf{r}')=0，同時，函數H(\mathbf{r},\mathbf{r}')滿足拉普拉斯方程式
:\nabla^2 H(\mathbf{r},\mathbf{r}')=0。

對於z+半空間，H(\mathbf{r},\mathbf{r}')以傅立葉級數擴張為
:\begin{align}H(\mathbf{r},\mathbf{r}')
& = \frac{1}{2\pi^2}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\ \mathrm{d}k_x\ \mathrm{d}k_y e^{ik_x(x-x')+ik_y(y-y')}\int_{-\infty}^{\infty}\ \mathrm{d}k_z \left[B(\mathbf{k},z')e^{ik_z z} +C(\mathbf{k},z')e^{-ik_z z}\right]\\
\end{align}。

對於x-座標與對於y-座標的傅立葉級數擴張，H函數與G函數的形式相同。這是因為對於無限空間案例與無限平面導體案例，兩種案例的x-邊界條件與y-邊界條件都相同，只有z-邊界條件稍有改變。將H函數的方程式代如，G_D(\mathbf{r},\mathbf{r}')變為
:G_D(\mathbf{r},\mathbf{r}')
= \frac{1}{2\pi^2}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\ \mathrm{d}k_x\ \mathrm{d}k_y e^{ik_x(x-x')+ik_y(y-y')}\int_{-\infty}^{\infty}\ \mathrm{d}k_z \left[\frac{e^{ik_z(z-z')}}{k_x^2+k_y^2+k_z^2} +B(\mathbf{k},z')e^{ik_z z} +C(\mathbf{k},z')e^{-ik_z z}\right]；

其中，B(\mathbf{k},z')與C(\mathbf{k},z')都是係數函數。

由於G_D((x,y,0),\mathbf{r}')=0，對於任意\mathbf{k}與z'，B(\mathbf{k},z')與C(\mathbf{k},z')之間的關係為
:\frac{e^{-ik_z z'}}{k_x^2+k_y^2+k_z^2} +B(\mathbf{k},z')+C\mathbf{k},z')=0、
:B(\mathbf{k},z')=\frac{B_0 e^{-ik_z z'}}{k_x^2+k_y^2+k_z^2} 、
:C(\mathbf{k},z')=\frac{C_0 e^{-ik_z z'}}{k_x^2+k_y^2+k_z^2} ；

其中，B_0與C_0都是係數常數，而且，B_0+C_0=-1

將這些公式代入G_D，可以得到
:G_D(\mathbf{r},\mathbf{r}')
= \frac{1}{2\pi^2}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\ \mathrm{d}k_x\ \mathrm{d}k_y e^{ik_x(x-x')+ik_y(y-y')}\int_{-\infty}^{\infty}\ \mathrm{d}k_z \left\{\frac{(1+B_0)}{k^2} \left[ e^{ik_z(z-z')}-e^{ik_z(z+z')}\right]\right\}。

為了滿足方程式\nabla^2 G_D(\mathbf{r},\mathbf{r}')= - 4\pi\delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}')，必需設定B_0=0。所以，
:\begin{align}G_D(\mathbf{r},\mathbf{r}') & = \frac{1}{2\pi^2}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\ \mathrm{d}k_x\ \mathrm{d}k_y e^{ik_x(x-x')+ik_y(y-y')}\int_{-\infty}^{\infty}\ \mathrm{d}k_z \left\{\frac{1}{k^2} \left[ e^{ik_z(z-z')}-e^{ik_z(z+z')}\right]\right\} \\
& =\frac{1}-\frac{1} \\
& =\cfrac{1}{\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+ (z - z')^2}} -\ \cfrac{1}{\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z+z')^2}} \\
\end{align} ；

其中，\mathbf{r}*=(x',y',-z')是鏡像電荷的位置。

兩個半平面導體案例
假設在xy-平面的無限平面導體被一條位於y=0的絕緣線條分為兩半，兩個處於y+、y--半平面的導體的電勢分別設定為+V與-V，則由於\rho(\mathbf{r}')=0，方程式（2）變為
:\phi(\mathbf{r}) =-\ \frac{1}{4 \pi}\oint_{\mathbb{S}'} \phi(\mathbf{r}')\ {\partial G_D(\mathbf{r},\mathbf{r}')\over \partial n'}\mathrm{d}^2 r'。（3）

注意到\mathbb{V}'是z+-半空間，xy-平面是其邊界閉曲面的一部分，格林函數在xy-平面的法向導數的方向是朝著負z方向：
:\begin{align}{\partial G_D\over \partial n'} & =-\ {\partial G_D\over \partial z'} \\
& =-\ \cfrac{z - z'}{[(x-x')^2+(y-y')^2+ (z - z')^2]^{3/2}}\ -\ \cfrac{z + z'}{[(x-x')^2+(y-y')^2+(z+z')^2]^{3/2}} \\
& =-\ \cfrac{2z}{[(x-x')^2+(y-y')^2+ z^2]^{3/2}} \\
\end{align}。

\mathbb{V}'的邊界閉曲面在無窮遠位置的電勢為0，所以，只需要計算xy-平面給出的貢獻，就可以得到在\mathbb{V}'內部任意位置的電勢。將上述方程式代入方程式（3）：

:\begin{align}\phi(\mathbf{r}) & =\frac{2z}{4 \pi}\left\{\int_{0+}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\cfrac{V \mathrm{d}x'\mathrm{d}y'
}{[(x-x')^2+(y-y')^2+ z^2]^{3/2}}+\int_{-\infty}^{0-}\int_{-\infty}^{\infty}\cfrac{-V \mathrm{d}x'\mathrm{d}y'
}{[(x-x')^2+(y-y')^2+ z^2]^{3/2}}\right\} \\
& =\ \frac{zV}{\pi}\left\{\int_{0+}^{\infty}\frac{\mathrm{d}y'}{(y-y')^2+ z^2}
-\int_{-\infty}^{0-} \frac{\mathrm{d}y'}{(y-y')^2+ z^2}\right\} \\
& =\frac{2V}{\pi}\ \arctan{\left(\frac{y}{z}\right)} \\
\end{align}。

推廣至電動力學
假設磁場含時間（每當電場含時間，則此假設成立。逆過來亦成立），則不能簡單地以純量勢\phi描述電場。因為根據法拉第電磁感應定律，\mathbf{\nabla} \times \mathbf{E}=-\ \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\neq 0，電場不再具有保守性，\int \mathbf{E}\cdot \mathrm{d} \boldsymbol{\ell}跟路徑有關。

替代地，在定義純量勢時，必須引入磁向量勢\mathbf{A}，定義為
:\mathbf{B}\ \stackrel{def}{=}\ \mathbf{\nabla} \times \mathbf{A}；

其中，\mathbf{B}是磁場。

根據亥姆霍茲定理（），假設一個向量函數\mathbf{F}(\mathbf{r})滿足以下兩條件：
:\nabla\cdot\mathbf{F}(\mathbf{r})=D(\mathbf{r})、
:\nabla\times\mathbf{F}(\mathbf{r})=\mathbf{C}(\mathbf{r}) ;

其中，D(\mathbf{r})是個純量函數，\mathbf{C}(\mathbf{r})是個向量函數。

再假設D(\mathbf{r})和\mathbf{C}(\mathbf{r})，在無窮遠處都足夠快速地趨向0，則\mathbf{F}(\mathbf{r})可以用方程式表達為
:\mathbf{F}(\mathbf{r})= - \nabla\left(\frac{1}{4\pi}\int_{\mathbb{V}'}\frac{D(\mathbf{r}')} \mathrm{d}^3 r'\right)+\nabla\times \left(\frac{1}{4\pi}\int_{\mathbb{V}'}\frac{\mathbf{C}(\mathbf{r}')}{ |\mathbf{r} - \mathbf{r}'| }\mathrm{d}^3 r'\right) ;

在這裏，\nabla只作用於\mathbf{r}，體積分的體積為\mathbb{V}'。

採用庫侖規範（），則磁向量勢\mathbf{A}遵守
:\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{A}=0。

所以，
:\mathbf{A}(\mathbf{r})=\nabla\times \left(\frac{1}{4\pi}\int_{\mathbb{V}'}\frac{\mathbf{B}(\mathbf{r}')}\mathrm{d}^3 r'\right) =\frac{1}{4\pi}\int_{\mathbb{V}'}\mathbf{B}(\mathbf{r}')\times\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \mathrm{d}^3 r'。

注意到，以上這些推導，並沒有涉及時間參數。加入時間參數t，結果也成立。所以，永遠可以找到磁向量勢\mathbf{A}：
:\mathbf{A}(\mathbf{r},\,t)=\frac{1}{4\pi}\int_{\mathbb{V}'} \mathbf{B}(\mathbf{r}',\,t)\times\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \mathrm{d}^3 r' 。

根據法拉第電磁感應定律，向量場\mathbf{G}=\mathbf{E}+\partial\mathbf{A}/\partial t是一個保守場：
:\nabla\times\mathbf{G}=\nabla\times\mathbf{E}+\nabla\times\partial\mathbf{A}/\partial t=0。

所以，必定可以找到純量勢\phi，滿足\mathbf{G} = - \nabla \phi。因此，下述方程式成立：
:\mathbf{E} = - \mathbf{\nabla}\phi - \frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}。

靜電勢只是這含時定義的一個特別案例，在這案例裏，磁向量勢\mathbf{A}不含時間。從另一方面來說，對於含時向量場，電場的路徑積分與靜電學的結果大不相同：
:\int_a^b \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} \neq \phi(b) - \phi(a)。

參閱

• 电壓
• 鏡像法
• 勞侖次規範
• 推遲勢
• 保守力與保守場

參考文獻
延伸阅读
*
*

Elektrostatik#Potential und Spannung