氫原子

氫原子是氫元素的原子。電中性的原子含有一個正價的質子與一個負價的電子，被庫侖定律束縛於原子核內。在大自然中，氫原子是豐度最高的同位素，稱為氫，氫-1 ，或**'。氫原子不含任何中子，別的氫同位素含有一個或多個中子。這條目主要描述氫-1 。

氫原子擁有一個質子和一個電子，是一個的簡單的二體系統。系統內的作用力只跟二體之間的距離有關，是反平方連心力，不需要將這反平方連心力二體系統再加理想化，簡單化。描述這系統的（非相對論性的）薛丁格方程式有解析解，也就是說，解答能以有限數量的常見函數來表達。滿足這薛丁格方程式的波函數可以完全地描述電子的量子行為。因此可以這樣說，在量子力學裏，沒有比氫原子問題更簡單，更實用，而又有解析解的問題了。所推演出來的基本物理理論，又可以用簡單的實驗來核對。所以，氫原子問題是個很重要的問題。

另外，理論上薛丁格方程式也可用於求解更複雜的原子與分子。但在大多數的案例中，皆無法獲得解析解，而必須藉用電腦來進行計算與模擬，或者做一些簡化的假設，方能求得問題的解析解。

歷史
大約為波耳半徑。]]
1913 年，尼爾斯·玻耳在做了一些簡化的假設後，計算出氫原子的光譜頻率。這些假想，波耳模型的基石，並不是完全的正確，但是可以得到正確的能量答案。

1925/26 年，埃爾文·薛丁格應用他發明的薛丁格方程式，以嚴謹的量子力學分析，清楚地解釋了波耳答案正確的原因。氫原子的薛丁格方程式的解答是一個解析解，也可以計算氫原子的能級與光譜譜線的頻率。薛丁格方程式的解答比波耳模型更為精確，能夠得到許多電子量子態的波函數（軌域），也能夠解釋化學鍵的各向異性。

薛丁格方程式解答
氫原子問題的薛丁格方程式為
:L_{i}^{j}(x)= ( - 1)^{j}\ \frac{d^{j}}{dx^{j}}L_{i+j}(x) ；

其中，L_{i+j}(x) 是拉盖尔多项式，可用羅德里格公式表示為

:L_{i}(x)=\frac{e^x}{i!}\ \frac{d^{i}}{dx^{i}}(x^i e^{ - x}) 。

為了要結束广义拉盖尔多项式的遞迴關係，必須要求量子數 l 。

按照這種定義式，徑向函數表達為
: R_{nl} (r) = \sqrt {{\left ( \frac{2 }{n a_{\mu}} \right ) }^3\frac{(n-l-1)!}{2n[(n+l)!]^3} } e^{- r / {n a_{\mu}}} \left ( \frac{2 r}{n a_{\mu}} \right )^{l} L_{n-l-1}^{2l+1} ( \tfrac{2 r}{n a_{\mu}}) 。

知道徑向函數 R_{nl}(r) 與球諧函數 Y_{lm} 的形式，可以寫出整個量子態的波函數，也就是薛丁格方程式的整個解答：
:\psi_{nlm} = R_{nl}(r)\, Y_{lm}(\theta,\phi) 。

量子數
量子數 n 、l 、m ，都是整數，容許下述值：，容許的能量為：
:E_{nj} = E_n\left[1+\left(\frac{\alpha}{n}\right)^2\left(\frac{1}{j+\frac{1}{2}} - \frac{3}{4n}\right)\right] 。

電子軌域圖
右圖顯示出能量最低的幾個氫原子軌域（能量本徵函數）。這些是機率密度的截面的繪圖。圖內各種顏色的亮度代表不同的機率密度（黑色：0 機率密度，白色：最高機率密度）。角量子數 (l) ，以通常的光譜學代碼規則，標記在每一個縱排的最上端。s 意指 l=0,\! ，p 意指 l=1,\! ，d 意指 l=2,\! 。主量子數 (n=1,\ 2,\ 3,\ \dots) 標記在每一個横排的最右端。磁量子數 m 被設定為 0 。截面是 xz-平面（ z-軸是縱軸）。將繪圖繞著 z-軸旋轉，則可得到三維空間的機率密度。

基態是最低能級的量子態，也是電子最常找到的量子態，標記為 1s 態，n=1,\ l=0 。

特別注意，在每一個軌域的圖片內，黑線出現的次數。這些二維空間黑線，在三維空間裏，是節面 () 。節面的數量等於 n - 1 ，是徑向節數（ n - l - 1 ）與角節數（ l ）的總和。

穩定性
思考氫原子穩定性問題，應用經典電動力學來分析，則由於庫侖力作用，束縛電子會被原子核吸引，呈螺線運動掉入原子核，同時輻射出無窮大能量，因此原子不具有穩定性。但是，在大自然裏這虛擬現象實際並不會發生。那麼，為什麼氫原子的束縛電子不會掉入原子核裏？應用量子力學，可以計算出氫原子系統的基態能量大於某有限值，稱這結果為滿足「第一種穩定性條件」，即氫原子的基態能量 E_0 大於某有限值：
:E_0 > -\infty 。

量子力學的海森堡不確定性原理 \Delta x \Delta p \ge \hbar/2 可以用來啟發性地說明這問題，電子越接近原子核，電子動能越大。但是海森堡不確定性原理不能嚴格給出數學證明，有些特別案例不能滿足第一種穩定性條件，因為 \Delta x 量度的是波函數的半寬度，而不是波函數集聚於原子核附近的程度，所以波函數可以擁有一定的半寬度，並且極度集聚於原子核附近，造成庫侖勢能趨於 -\infty ，同時維持有限的動能。

更詳細分析起見，只考慮類氫原子系統，給定原子的原子序 Z ，原子的能量 E 為
:E=T+V=\int_{\mathbb{R}^3} \mathrm{d}x\left(\frac{1}{2}|\nabla\psi(x)|^2-Z\frac \right) ；

其中，T 為動能，V 為勢能，\psi(x) 為描述類氫原子系統的波函數，x 為位置坐標，\mathbb{R}^3 為積分體積。

應用索博列夫不等式，經過一番運算，可以得到能量最大下界為。
:E_0=-4Z^2/3\ [Ry] ；

其中，Ry 是能量單位里德伯，大約為13.6eV。

總結，類氫原子滿足第一種穩定性條件這結果。

參閱
*氘
*氚
*氫原子光譜
*21公分線
*量子化學
*類氫原子
*球對稱位勢
*拉普拉斯-龍格-冷次向量

註釋
參考文獻
外部連結
*大衛森大學物理課堂講義：[https://web.archive.org/web/20080420071119/http://webphysics.davidson.edu/faculty/dmb/hydrogen/ 關於軌域的互動繪圖]
*新墨西哥大學物理課堂講義：[https://web.archive.org/web/20080518211736/http://panda.unm.edu/Courses/Finley/P262/Hydrogen/WaveFcns.html 氫原子的波函數，波函數線形圖，與機率密度圖像]
*德瑞守大學物理課堂講義：[http://www.physics.drexel.edu/~tim/open/hydrofin/hyd.pdf 氫原子基本量子力學概念]