二體問題

公轉。]]
公轉。這種軌道的尺寸與形狀類似冥王星-冥衛一系統。]]
在經典力學裏，二體問題（）研究兩個粒子因彼此互相作用而產生的運動。這是個很重要的天文學問題，常見的應用有衛星繞著行星公轉、行星繞著恆星公轉、雙星系統、雙行星、一個經典電子繞著原子核運動等等。

二體問題可以表述為兩個獨立的單體問題，其中一個是平凡的單體問題，另外一個單體問題研究一個粒子因外力作用而呈現的運動。由於很多單體問題有精確解（），即不需借助近似方法就可得到問題的解答；其對應的二體問題連帶地也可解析。顯然不同地，除了特別案例以外，三體問題（或者更複雜的多體問題）並沒有精確解。

約化為兩個獨立的單體問題
在一個物理系統裏，假設兩個粒子的質量分別為m_{1}\,\!、m_{2}\,\!，在時間t=0\,\!的初始位置分別為\mathbf{x}_{10}\,\!、\mathbf{x}_{20}\,\!，初始速度分別為\mathbf{v}_{10}\,\!、\mathbf{v}_{20}\,\!，計算這兩個粒子的軌跡函數\mathbf{x}_{1}(t)\,\!及\mathbf{x}_{2}(t)\,\!的問題，稱為二體問題。

根據牛頓第二定律：
:\mathbf{F}_{12}(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2}) = m_{1} \ddot{\mathbf{x}}_{1}\,\! —— (1)、
:\mathbf{F}_{21}(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2}) = m_{2} \ddot{\mathbf{x}}_{2}\,\! —— (2)；

其中，\mathbf{F}_{AB}\,\!表示粒子B施加於粒子A的作用力。

()為質心坐標\boldsymbol{R}=\frac {m_1}{M} \boldsymbol{x}_1 + \frac {m_2}{M} \boldsymbol{x}_2 和相對坐標\boldsymbol{r} = \boldsymbol{x}_1 - \boldsymbol{x}_2 ；其中，M = m_1+m_2 \ 。]]
將方程式(1)與方程式(2)相加，可以得到一個方程式，專門描述兩個粒子的質心運動。將方程式(1)與方程式(2)的相減，則可得到描述兩個粒子相對的位移向量\mathbf{r}=\mathbf{x}_1-\mathbf{x}_2\,\!與時間之間的關係。將這兩個獨立的單體問題的解答結合起來，就可以求得軌跡函數\mathbf{x}_{1}(t)\,\!和\mathbf{x}_{2}(t)\,\!。

質心運動（第一個單體問題）
質心的位置由兩個粒子的位置和質量給出：
:\mathbf{x}_{cm} \ \stackrel{def}{=}\ (m_{1}\mathbf{x}_{1} + m_{2}\mathbf{x}_{2})/M\,\!；

其中，M=m_{1} + m_{2}\,\!是系統的總質量。

質心的加速度為：
:\ddot{\mathbf{x}}_{cm}=(m_{1}\ddot{\mathbf{x}}_{1} + m_{2}\ddot{\mathbf{x}}_{2})/M\,\!。

由於沒有外力作用，將方程式(1)與(2)相加，根據牛頓第三定律，可以得到
:M\ddot{\mathbf{x}}_{cm} = \mathbf{F}_{12} + \mathbf{F}_{21} = 0 \,\!。

因此，質心的加速度等於零，質心的速度\mathbf{v}_{cm}\,\!為常數：
:\mathbf{v}_{cm}=\dot{\mathbf{x}}_{cm}=(m_{1}\mathbf{v}_{10} + m_{2}\mathbf{v}_{20})/M\,\!。

這物理系統的動量守恆：
:m_{1}\mathbf{v}_{1} + m_{2}\mathbf{v}_{2}=M\mathbf{v}_{cm}=m_{1}\mathbf{v}_{10} + m_{2}\mathbf{v}_{20}\,\!。

從兩個粒子的初始位置和初始速度，就可以決定質心在任意時間的位置：
:\mathbf{x}_{cm}=\mathbf{v}_{cm}t+(m_{1}\mathbf{x}_{10} + m_{2}\mathbf{x}_{20})/M\,\!。

位移向量運動（第二個單體問題）
將方程式(1)、(2)分別除以m_1\,\!、m_2\,\!，然後相減，可以得到
:\ddot{\mathbf{r}} = \ddot{\mathbf{x}}_{1} - \ddot{\mathbf{x}}_{2} =
\left( \frac{\mathbf{F}_{12}}{m_{1}} - \frac{\mathbf{F}_{21}}{m_{2}} \right)\,\!。

其中，\mathbf{r}\,\!是個從粒子2位置指到粒子1位置的位移向量。

應用牛頓第三定律，\mathbf{F}_{12} = -\mathbf{F}_{21}\,\!。所以，
:\ddot{\mathbf{r}} =\left(\frac{1}{m_{1}} + \frac{1}{m_{2}} \right)\mathbf{F}_{12}\,\!。

兩個粒子之間的作用力應該只是相對位置\mathbf{r}\,\!的函數，而不是絕對位置\mathbf{x}_{1}\,\!、\mathbf{x}_{2}\,\!的函數；否則，無法滿足物理的平移對稱，物理定律會因地而易，二體之間的物理關係無法普遍地成立於全宇宙。換句話說，在宇宙中，兩個粒子的絕對位置無關緊要，因為它們是宇宙中唯一的兩個粒子，是互相施加於彼此的作用力的源頭。誠然地，這是一個不實際的問題，可以被視為一個思想實驗。為了滿足這問題的要求，兩個粒子之間的作用力必須只是相對位置\mathbf{r}\,\!的函數。這樣，相減得到的方程式寫為
:\mu \ddot{\mathbf{r}} = \mathbf{F}_{12}(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2}) = \mathbf{F}(\mathbf{r})\,\!；

其中，\mu =m_{1}m_{2}/M\,\!是約化質量。

一旦求得函數\mathbf{x}_{cm}(t)\,\!與\mathbf{r}(t)\,\!，就可以計算出兩個粒子的軌跡方程式\mathbf{x}_{1}(t)\,\!與\mathbf{x}_{2}(t)\,\!：
:\mathbf{x}_{1}(t)=\mathbf{x}_{cm}(t) + m_{2}\mathbf{r}(t)/M\,\!、
:\mathbf{x}_{2}(t)=\mathbf{x}_{cm}(t) - m_{1}\mathbf{r}(t)/M\,\!。

角動量
兩個粒子的總角動量\mathbf{L}_{tot} \,\!為
:\begin{align}\mathbf{L}_{tot} & =\mathbf{x}_1 \times (m_1\dot{\mathbf{x}}_1)+\mathbf{x}_2 \times (m_2\dot{\mathbf{x}}_2)=\mathbf{x}_{cm} \times M\dot{\mathbf{x}}_{cm}+\mathbf{r} \times \mu\dot{\mathbf{r}} \\
& =\mathbf{L}_{cm}+ \mathbf{L}_{rel}\\ \end{align}\,\!

其中，\mathbf{L}_{cm}=\mathbf{x}_{cm} \times M\dot{\mathbf{x}}_{cm}\,\!是質心對於原點的角動量，\mathbf{L}_{rel}=\mathbf{r} \times \mu\dot{\mathbf{r}}\,\!是兩個粒子對於質心的角動量。

回想前面質心的軌跡方程式，
:\mathbf{x}_{cm}=\mathbf{v}_{cm}t+(m_{1}\mathbf{x}_{10} + m_{2}\mathbf{x}_{20})/M\,\!。

為了簡化分析，設定質心的初始位置為0\,\!。也就是說，質心的直線運動經過原點。那麼，
:\mathbf{L}_{cm}=\mathbf{v}_{cm}t \times M\mathbf{v}_{cm}=0\,\!、
:\mathbf{L}_{tot} =\mathbf{L}_{rel}\,\!。

二体问题常用的换元的技巧是通过 u=1/r \! 和 \dot{\theta}=Lu^{2}/m\! 将原方程中对时间的求导转化为对角度 \theta\! 的求导，并得到Sturm-Liouville型方程
:(Lu')'+Lu = 1/L\!

角動量守恆與連心力
二體問題的總力矩\boldsymbol{\tau}_{tot}\,\!是
:\boldsymbol{\tau}_{tot}=\mathbf{x}_1\times\mathbf{F}_{12}+\mathbf{x}_2 \times \mathbf{F}_{21}=\mathbf{r}\times\mathbf{F}_{12}\,\!。

在物理學裏，時常會遇到的萬有引力、靜電力等等，都是連心力。假設，作用力\mathbf{F}_{12}\,\!是連心力，則\mathbf{F}_{12}\,\!與\mathbf{r}\,\!同直線，總力矩\boldsymbol{\tau}_{tot}\,\!等於0。根據角動量守恆定律，
:\boldsymbol{\tau}_{tot}=\frac{d \mathbf{L}_{tot}}{dt}\,\!。

因此，總角動量\mathbf{L}_{tot} \,\!是個常數，總角動量守恆。

請注意，並不是每一種力都是連心力。假設，兩個粒子是帶電粒子。由必歐-沙伐定律與勞侖茲力定律所算出的作用力和反作用力並不是連心力。總力矩\boldsymbol{\tau}_{tot}\,\!不等於0。總角動量不守恆；這是因為還有角動量並沒有被計算在內。假若，將電磁場的角動量計算在內，則角動量守恆定律仍舊成立。

在很多物理系統裏，作用力\mathbf{F}(\mathbf{r})\,\!是一種連心力，以方程式表示為
:\mathbf{F}(\mathbf{r}) = F(r)\hat{\mathbf{r}}；

其中，r\,\!是徑向距離，\hat{\mathbf{r}}\,\!是徑向單位向量。

這物理系統的運動方程式為
:\mu \ddot{\mathbf{r}} = {F}(r)\hat{\mathbf{r}}\,\!。

更詳盡細節，請參閱條目經典連心力問題（）。

平面運動與角動量守恆
總角動量與\mathbf{r}\,\!的點積為
:\mathbf{r}\cdot\mathbf{L}_{tot}=\mathbf{r}\cdot(\mathbf{r} \times(\mu\dot{\mathbf{r}}))=0\,\!。

這兩個粒子的運動軌道必定包含於垂直於\mathbf{L}_{tot} \,\!的平面。假設作用力為連心力，則由於角動量守恆，這兩個粒子必定運動於某特定平面，而常數向量\mathbf{L}_{tot} \,\!垂直於這平面。

參閱

• 多體問題
• 克卜勒定律
• 克卜勒問題
• 拉普拉斯-龍格-冷次向量
• 伯特蘭定理
• 牛頓旋轉軌道定理

參考文獻
引用
来源
; 书籍

• Lev D. Landau and E. M. Lifshitz, (1976) Mechanics, 3rd. ed., Pergamon Press. ISBN 978-0-08-021022-3 (hardcover) and ISBN 978-0-08-029141-3 (softcover).