餘式定理

多項式餘式定理（）是指一個多項式P(x)除以一線性多項式x - a的餘式是P(a)。

定義
我們可以一般化多項式餘式定理。如果\frac{P(x)}{M(x)}的商式是Q(x)、餘式是R(x)，那麼P(x) = M(x)Q(x) + R(x)。其中R(x)的次數會小於M(x)的次數。例如，\frac{5x^3 + 4x^2 - 12x + 1}{x - 3}的餘式是5 \cdot 3^3 + 4 \cdot 3^2 - 12 \cdot 3 + 1 = 136。又可以說是把除式的零點代入被除式所得的值是餘式。

至於除式為2次以上時，可將n次除式的n根a, b, c, \cdots列出聯立方程：
:P(a) = R(a), P(b) = R(b), P(c) = R(c), \cdots

其中P是被除式，R是餘式。

此方法只可用在除式不是任一多項式的n次方。

推导
多項式餘式定理可由多項式除法的定義導出.根据多項式除法的定義，设被除式為f(x)，除式为g(x)，商式为q(x)，余式为r(x)，则有：
:f(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x)

如果g(x)是一次式x-a，则r(x)的次数小于一，因此，r(x)只能为常数，这时，余式也叫余数，记为r，即有：
:f(x) = (x - a) \cdot q(x) + r

根据上式，当x=a时，有：
:f(a) = (a - a) \cdot q(a) + r = r

因此，我们得到了余式定理：多项式f(x)除以x-a所得的余式等于f(a)。

參見

• 中国剩余定理

参考文献