多重排列与多重全排列

多重排列与多重全排列是组合数学中的常见的两个排列模型，具有广泛的应用场景。尽管多重排列与多重全排列仅有一字之差，但是具有完全不同的实际意义。

定义
多重排列定义
设多重集的几何大小为n，取其中的m个数进行排列，即为多重排列。设多重集内元素细节为r_1个x_1，r_2个x_2，...，r_k个x_k，则可记为P(m;r_1+r_2+...+r_k=n).

多重全排列定义
有r_1个x_1，r_2个x_2，...，r_k个x_k个数，其中r_1+r_2+...+r_k=n，对这样的n个数所求的排列，即为多重全排列，记为P(n;r_1,r_2,...,r_k)或\binom{n}{r_1 \quad r_2\quad ... \quad r_k}。

计算方法
多重排列计算方法
枚举法：小范围的多重排列采用分类枚举方法即可得出正确结果。

多重全排列计算方法
P(n;r_1,r_2,...,r_k)\centerdot r_1 ! \centerdot r_2 ! \centerdot ... \centerdot r_k !=n!

\Longrightarrow P(n;r_{1},r_{2},...,r_{k})=\frac{n!}{r_{1}!\centerdot r_{2}!\centerdot ...\centerdot r_{k}!}

即\binom{n}{r_1 \quad r_2\quad ... \quad r_k}={\frac {n!}{r_{1}!\centerdot r_{2}!\centerdot ...\centerdot r_{k}!}}

举例
举例：多重排列
某校举办运动会，计算机系派出代表人数分布如下：人智所有3个人报名，高性能所有2个人报名，软件所有4名同学报名（ps:认为同一所的同学无差别，仅代表研究所内一个成员），共有8个完全不同的个人单项项目，计算机系需要选择其中的8个人代表院系参加比赛（每人必须参加一项，且不能超过一项），报名的三个所至少每个所获得一个参赛名额，问共有多少种排列方案？

解：

大类一： \tfrac{8!}{3! \centerdot 1! \centerdot 4!}=280

大类二： \tfrac{8!}{3! \centerdot 2! \centerdot 3!}=560

大类三： \tfrac{8!}{2! \centerdot 2! \centerdot 4!}=420

总计： 280+560+420=1260

举例：多重全排列
某校举办运动会，计算机系派出代表人数分布如下：网络所有3名同学报名，软件所有4名同学报名，人智所有3个人报名，高性能所有2个人报名（ps:认为同一所的同学无差别，仅代表研究所内一个成员），共有12个完全不同的个人单项项目，每人必须参加一项，且不能超过一项，问共有多少种排列方案？

解：

设排列方案为ans，则

ans=\tfrac{12!}{3! \centerdot 4! \centerdot 3! \centerdot 2!}=277200