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凯泽窗

Wikipedia · 2023-03-07 维基百科 👁 1 阅读

凯泽窗（Kaiser window）是由贝尔实验室的James Kaiser所提出的。凯泽窗是一個單參數的窗函数群，用在数字信号处理中，其定義如下：
:

w[n] =

\left\{
\begin{matrix}

\frac{I_0\left(\pi \alpha \sqrt{1 - \left(\frac{2n}{N-1}-1\right)^2}\right)} {I_0(\pi \alpha)},
& 0 \leq n \leq N-1 \\ \\

0 & \mbox{otherwise}, \\

\end{matrix}
\right.

其中：

  • N 為序列的長度
  • I0 是零階的第一類修正貝索函數
  • α 是任意非負實數，用來調整凯泽窗的外形。在頻域上可以在主瓣（main-lobe）寬度及旁瓣（side lobe）大小中取拾，這是窗函數設計的重要考量因素。

若N為奇數，窗函數最大值會在 \scriptstyle w[(N-1)/2] = 1, 。若N為偶數，窗函數最大值會在 \scriptstyle w[N/2-1]\ =\ w[N/2]\ 。

傅立葉變換
若將上述離散數列視為是連續函數，並進行傅立葉變換：

:\underbrace{\frac{I_0\left(\pi \alpha \sqrt{1 - \left(\frac{2t}{(N-1)T}\right)^2}\right)} {I_0(\pi \alpha)}}_{w_0(t)}
\quad \stackrel{\mathcal{F}}{\Longleftrightarrow}\quad
\underbrace{\frac{(N-1)T\cdot\sinh\left(\pi \sqrt{\alpha^2-\left((N-1)T\cdot f\right)^2}\right)}{I_0(\pi \alpha)\cdot\pi \sqrt{\alpha^2-\left((N-1)T\cdot f\right)^2}}}_{W_0(f)}.

w0(t)的最大值為w0(0) = 1.  上述的w[n]數列為以下函收的取様：

:w_0\left(t-\tfrac{(N-1)T}{2}\right)\cdot \operatorname{rect}\left(\tfrac{t-(N-1)T/2}{NT}\right),   ，在間隔T的時間進行取樣。

而且rect()為矩形函数. W0(f)主瓣後的第一個零點在：

:f = \frac{\sqrt{1+\alpha^2}}{NT},     

調整α可以在主瓣的寬度及旁瓣大小中進行取捨。若α增加，W0(f)主瓣的寬度增加，而旁瓣的大小減小，如右圖所示。α = 0會對應長方形的窗函數。若α增加，時域及頻率下凯泽窗的形狀都會接近高斯曲線。凯泽窗在頻率0附近的集中程度是幾乎最佳化的（Oppenheim et al., 1999）。

腳註
參考資料
*

#信号处理

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