涡量方程

涡量方程（）是流体力学中描述流体质点涡量变化的方程。可压缩牛顿流体的涡量方程表达式为：
:\begin{align}
\frac{D\boldsymbol\omega}{Dt} &= \frac{\partial \boldsymbol \omega}{\partial t} + (\mathbf u \cdot \nabla) \boldsymbol \omega \\
&= (\boldsymbol \omega \cdot \nabla) \mathbf u - \boldsymbol \omega (\nabla \cdot \mathbf u) + \frac{1}{\rho^2}\nabla \rho \times \nabla p + \nabla \times \left( \frac{\nabla \cdot \tau}{\rho} \right) + \nabla \times \left( \frac{B}{\rho} \right) \end{align}
其中表示物质导数，为流速，为流体密度，为压强，为粘性应力张量，为流体所受外力。方程右边第一项表示涡旋伸展。使用爱因斯坦求和约定指标记号，上式又可写作

:\begin{align}
\frac{d\omega_i}{dt} &= \frac{\partial \omega_i}{\partial t} + v_j \frac{\partial \omega_i}{\partial x_j} \\
&= \omega_j \frac{\partial v_i}{\partial x_j} - \omega_i \frac{\partial v_j}{\partial x_j}

• e_{ijk}\frac{1}{\rho^2}\frac{\partial \rho}{\partial x_j}\frac{\partial p}{\partial x_k}
• e_{ijk}\frac{\partial}{\partial x_j}\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial \tau_{km}}{\partial x_m}\right)
• e_{ijk}\frac{\partial B_k }{\partial x_j} \end{align}

对于保守外力作用下的不可压缩流体，涡量方程可以简化为
:\frac{D\boldsymbol\omega}{Dt} = \left(\boldsymbol{\omega} \cdot \nabla\right) \mathbf{u} + \nu \nabla^2 \boldsymbol{\omega}
其中为运动黏度，为拉普拉斯算符。

参考文献
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