賦值

在代数中，赋值（valuation）是一个度量域元素的阶（多少）或元素重复度的函数。推广到交换代数，就是对复分析中极点，零点重复度度量，推广到代数数论中的代数整数整性的度量，在代数几何中也有类似概念，一个域与它的赋值被称为赋值域。

在信息技术、办公机械中，赋值（assignment）是对识别出的评估要素，根据已定的量化模型给予定量数值的过程，或是对组件或要求中指定的参数进行具体说明。

定義
一個域K上取值在有序交換群Γ的賦值是從K^*到Γ的映射v，滿足下述性質：

• v(xy) = v(x)+v(y)（即：v是群同態）
• x+y \neq 0 \Rightarrow v(x+y) \geq \mathrm{min}(v(x),v(y))

Γ稱作v的值群。

兩個賦值v_i: K^* \rightarrow \Gamma_i \; (i=1,2)被稱作等價的，若且唯若存在有序交換群的同構\phi: \Gamma_1 \rightarrow \Gamma_2使得v_2 = \phi \circ v_1。

為了操作上的便利，我們通常會將v的值域擴至\Gamma \cup \{\infty\}，並設v(0)=\infty。

p進賦值
設p為正質數。對於所有非零的有理數，存在一且唯一一個整數n使得 x = \frac{u}{v} p^n ，其中u,v均非p的倍數。p進賦值就是函數 v_p: x \to n。它給出一個p進絕對值 \vert\cdot\vert _p:\,\mathbb{Q} \to \mathbb{R}，定義為

p進賦值是個非阿基米得賦值。其值群是 \Z。

例子

• 令X為緊黎曼曲面，\mathbb{C}(X)為其上的亞純函數域。固定一點x \in X。定義v_x(f)為f在x的重根數，便得到\mathbb{C}(X)上的賦值，其值群為\mathbb{Z}。對於高維情形則須考慮其因子，但此時需考慮點的拉開，狀況較複雜。扎里斯基正是為了研究代數曲面而開始研究賦值論。
• 上述構造亦可套用到定義在任意域上的代數曲線。
• 利用函數域與數域的類比，可在\mathbb{Q}上考慮p進賦值。根據奥斯特洛夫斯基定理，\mathbb{Q}上的任意賦值皆等價於某個p進賦值。

參見

• 有序交換群
• 賦值環

参考文献
Nicolas Bourbaki, Algèbre commutative, Chapitre 5, 6: entiers ; valuations* (1964), Eléments de mathématique, P. A. Hermann.
*. A masterpiece on algebra written by one of the leading contributors.
*Chapter VI of

扩展阅读
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