斯托克斯流函数

的流线]]

斯托克斯流函数（）在流体力学中用于描述轴对称的三维不可压缩流体的流线与流速。斯托克斯流函数的等值面形成流管，其上的每一点都与速度矢量相切。此外，流管内的体积流量为定值，所有流线也皆位于流管表面上。斯托克斯流函数对应的速度场为螺线矢量场（散度为零）。该流函数因纪念著名流体力学家乔治·斯托克斯得名。

圆柱坐标
在圆柱坐标系 ( ρ , φ , z ) 中，假设不可压缩流关于 z 轴呈轴对称。则流体的径向速度 uρ 与轴向速度 uz 与可以通过斯托克斯流函数\Psi得到：
:
\begin{align}
u_\rho &= - \frac{1}{\rho}\, \frac{\partial \Psi}{\partial z},
\\
u_z &= + \frac{1}{\rho}\, \frac{\partial \Psi}{\partial \rho}.
\end{align}

周向速度uφ 则与流函数无关。通过斯托克斯流函数等值面（ψ为定值）的体积流量为 2π ψ。

球坐标
在球坐标系 ( r , θ , φ )中，以 θ = 0 为不可压缩流的对称轴。于是速度在 θ 与 r方向上的分量为：
:
\begin{align}
u_r &= + \frac{1}{r^2\, \sin(\theta)}\, \frac{\partial \Psi}{\partial \theta},
\\
u_\theta &= - \frac{1}{r\, \sin(\theta)}\, \frac{\partial \Psi}{\partial r}.
\end{align}

与圆柱坐标系下的情形相同，uφ 并非流函数的函数。通过流函数等值面的体积流量也与之前相同，为 2π ψ。

参考文献
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• Originally published in 1879, the 6th extended edition appeared first in 1932.

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