客观应力率

客观应力率（）在连续介质力学中是指不依赖参考系的应力时间导数。一些本构关系可以表示为应力率与应变率之间的关系。由于物体的力学响应不应随参考系的变化而变化（即客观性），而由柯西应力张量求时间导数直接得到的应力率张量并不是客观的，故需要定义具有客观性的应力率。

在连续介质力学中有多种客观应力率的定义，它们都可以表示成李导数的形式。其中最常见的客观应力率包括

• 柯西应力张量\boldsymbol{\sigma}的特鲁斯德尔（Truesdell）应力率

:
\overset{\circ}{\boldsymbol{\sigma}} = \dot{\boldsymbol{\sigma}} - \boldsymbol{l}\cdot\boldsymbol{\sigma} - \boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{l}^T +
\text{tr}(\boldsymbol{l})~\boldsymbol{\sigma}

（其中\boldsymbol{l}为速度梯度张量）

• 柯西应力张量\boldsymbol{\sigma}的格林－纳厄迪（Green-Naghdi）应力率

:
\overset{\square}{\boldsymbol{\sigma}} = \dot{\boldsymbol{\sigma}} + \boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{\Omega}

• \boldsymbol{\Omega}\cdot\boldsymbol{\sigma}

（其中\boldsymbol{\Omega} = \dot{\boldsymbol{R}}\cdot\boldsymbol{R}^T，\boldsymbol{R}为转动张量）

• 柯西应力张量\boldsymbol{\sigma}的耀曼（Jaumann）应力率

:
\overset{\triangle}{\boldsymbol{\sigma}} = \dot{\boldsymbol{\sigma}} + \boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{w} - \boldsymbol{w}\cdot\boldsymbol{\sigma}

（其中\boldsymbol{w}为自旋张量，即速度梯度张量的反对称部分）

参考文献