愛因斯坦-嘉當理論

愛因斯坦-嘉當理論（）是理論物理學中將廣義相對論延伸以正確處理自旋角動量。此理論以物理學家阿爾伯特·愛因斯坦以及埃利·嘉當（)為名。

作為古典物理中的主要理論，廣義相對論卻有一個缺點：其無法描述「自旋軌道耦合」（），亦即內稟角動量（）（自旋）與軌道角動量（）間的交換。存在有定量的理論證明，其顯示：當物體具有自旋性質時，廣義相對論必須要擴充成愛因斯坦-嘉當理論。

實驗上的效應由於太小，目前尚無法觀測得到。

歷史
該理論最早由埃利·嘉當(Élie Cartan)於 1922 年提出，並在隨後的幾年中得到了闡述。阿爾伯特愛因斯坦於 1928 年開始加入該理論，當時他試圖將撓率與電磁場張量匹配作為統一場論的一部分，但沒有成功。這一思路引導他得出了相關但不同的遠程並行理論。

Dennis Sciama和Tom Kibble在20世紀60年代獨立地重新審視了該理論，並於1976年發表了一篇重要評論。

愛因斯坦-嘉當理論在歷史上一直被無扭轉理論和布蘭斯-迪克理論等其他替代理論所掩蓋，因為扭轉似乎以犧牲方程式的易處理性為代價，幾乎沒有增加預測的好處。由於愛因斯坦-嘉當理論是純粹經典的，它也沒有完全解決量子重力問題。在愛因斯坦-嘉當理論中，狄拉克方程式變得非線性。最近，人們對愛因斯坦-嘉當理論的興趣已經轉向宇宙學意義，最重要的是，避免了宇宙開始時的引力奇點。該理論被認為是可行的，並且仍然是物理學界的活躍話題。

該理論間接影響了圈量子重力（並且似乎也影響了扭量理論）。

動機
廣義相對論無法描述自旋軌道耦合的理由根源於黎曼幾何，而廣義相對論是建構於其上。在黎曼幾何中，里奇曲率張量（Ricci curvature tensor）R_{ab}必須是a與b對稱的（亦即，R_{ab}=R_{ba}）。因此愛因斯坦曲率張量(Einstein curvature tensor)G_{ab}定義為

:G_{ab}=R_{ab}-\frac{1}{2}R g_{ab}

也必須是對稱的。在廣義相對論中，愛因斯坦曲率張量為局域重力建構了模型，且其（透過重力常數的聯繫）等同於應力-能量張量或能量-動量張量P_{ab}（此處我們將能量-動量張量表示為P，是因為廣義相對論中常用來表示能量-動量張量的T在愛因斯坦-嘉當理論留給仿射扭率(affine torsion)。）愛因斯坦曲率張量的對稱性強迫動量張量必須是對稱的。然而，當自旋與軌道角動量進行交換時，根據角動量守恆的廣義式，則知動量張量為不對稱的。

:(spin current)之散度——\frac{1}{2}\left(T_{ab}-T_{ba}\right)=0

細節請參考(spin tensor)條目。

因此廣義相對論無法適當地為自旋軌道耦合建構模型。

於1922年，埃利·嘉當提出猜想認為廣義相對論應該被延伸成包括仿射扭率(affine torsion)，其允許里奇張量可以是不對稱的。雖然自旋-軌道耦合是重力物理學中相對次要的現象，愛因斯坦–嘉當理論則相當重要，因為
: (1) 其顯示出仿射理論，而非度規理論，對於重力能提供更好的描述；
: (2) 其解釋仿射扭率的意義，在一些量子重力理論中自然出現；
: (3) 其將自旋詮釋為仿射扭率，在幾何意義上是時空介質(spacetime medium)之位錯場(field of dislocations)的一項連續近似。
將黎曼幾何擴充以包含了仿射扭率則稱為黎曼-嘉當幾何(Riemann–Cartan geometry)。

幾何與表示式
時空物理學的數學基礎是仿射微分幾何(affine differential geometry)，其中我們賦予n維微分流形M 一項沿著M上路徑對向量作平行移動的定律。（一微分流形的每個點，我們都有切向量所組成的一個線性空間，不過我們無法將向量移動到其他點，或是去比較M上位於不同兩點上的向量。）平行移動保存了向量間的線性關係；也就是說，若兩向量 \vec{u} 與 \vec{v} 在M上同一點，沿著一曲線被平行移動成為向量 \vec{u}^{\prime} 與 \vec{v}^{\prime}，則兩者的線性組合
:a \vec{u} + b \vec{v}
也平行移動為
:a \vec{u}^{\prime} + b \vec{v}^{\prime}。

仿射微分幾何中的平行性(Parallelism)是路徑相依(path-dependent)的；也就是說，如果沿著同起點與同終點之兩相異路徑平行移動一向量，在終點所得的結果向量一般來說是相異的。這樣的差異本質上即為曲率的影響，而曲率在微分幾何中是個中心概念。

愛因斯坦-嘉當引力理论简介
用标架场重写愛因斯坦引力理论
用标架场\lambda _{\mu }^{(\alpha )} 代替度规场{{g}_{\mu \nu }} ，我们可以得到用标架场\lambda _{\mu }^{(\alpha )} （仅考虑内禀坐标系变换是整体Lorentz变换）表示的两种等价形式的推广的爱因斯坦引力场运动方程为：
*（1）引力场运动方程第一形式：\frac{D{{Q}^{(\alpha )\mu \nu }}}{D{{x}^{\nu }}}=\frac{16\pi G}{{{c}^{4}}}{{P}^{(\alpha )\mu }}
*（2）引力场运动方程第二形式：{{R}^{\mu \nu }}-\frac{1}{2}{{g}^{\mu \nu }}R+\frac{1}{2}\lambda _{(\alpha )}^{\nu }\frac{DK_^{(\alpha )\mu \rho }}{D{{x}^{\rho }}}=\frac{8\pi G}{{{c}^{4}}}\left( P_{m}^{\nu \mu }-P_{gk}^{\nu \mu } \right)
其中：
: {{P}^{(\alpha )\mu }}=P_{m}^{(\alpha )\mu }-P_{g}^{(\alpha )\mu }
: \begin{align}
& {{Q}^{(\alpha )\mu \nu }}=Q_{E}^{(\alpha )\mu \nu }+K_^{(\alpha )\mu \nu } \\
& Q_{E}^{(\alpha )\mu \nu }={{F}^{(\alpha )\mu \nu }}+\left( {{F}^{\mu (\alpha )\nu }}-{{F}^{\nu (\alpha )\mu }} \right)-2\left( {{\lambda }^{(\alpha )\mu }}{{F}^{\nu }}-{{\lambda }^{(\alpha )\nu }}{{F}^{\mu }} \right) \\
& K_^{(\alpha )\mu \nu }=\beta _{1}^{{F}^{(\alpha )\mu \nu }}+\beta _{2}^\left( {{F}^{\mu (\alpha )\nu }}-{{F}^{\nu (\alpha )\mu }} \right)-2\beta _{3}^\left( {{\lambda }^{(\alpha )\mu }}{{F}^{\nu }}-{{\lambda }^{(\alpha )\nu }}{{F}^{\mu }} \right) \\
\end{align}
: P_{g}^{(\alpha )\mu }=\frac{{{c}^{4}}}{16\pi G}\left( -{{F}_{\lambda \rho \sigma }}{{Q}^{\lambda \mu \sigma }}+\frac{1}{4}{{F}_{\lambda m\sigma }}{{Q}^{\lambda m\sigma }}\delta _{\rho }^{\mu } \right){{\lambda }^{(\alpha )\rho }}
: \begin{align}
& P_{m}^{(\alpha )\mu }=-\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\delta \left( {{L}_{m}}\sqrt{-g} \right)}{\delta {{\lambda }_{(\alpha )\mu }}}=-\frac{\delta {{L}_{m}}}{\delta {{\lambda }_{(\alpha )\mu }}}-{{L}_{m}}{{\lambda }^{(\alpha )\mu }} \\
& \\
\end{align}
: P_{gk}^{(\alpha )\mu }=\frac{{{c}^{4}}}{16\pi G}\left( -{{F}_{\lambda \rho \sigma }}{{K}^{\lambda \mu \sigma }}+\frac{1}{4}{{F}_{\lambda m\sigma }}{{K}^{\lambda m\sigma }}\delta _{\rho }^{\mu } \right){{\lambda }^{(\alpha )\rho }}
当 {{\beta }_{1}},{{\beta }_{2}},{{\beta }_{3}}时，由引力场运动方程的第二形式得到爱因斯坦引力场运动方程：
{{R}^{\mu \nu }}-\frac{1}{2}{{g}^{\mu \nu }}R=\frac{8\pi G}{{{c}^{4}}}P_{m}^{\nu \mu }

愛因斯坦引力理论与狄拉克电子理论之间的矛盾
考虑电子与引力的作用时，我们需要引入标架仿射联络\hat{\Gamma }_{(\beta )\mu }^{(\alpha )} 。在黎曼时空中，存在关系式：{{D}_{\nu }}\lambda _{\mu }^{(\alpha )}={{\partial }_{\nu }}\lambda _{\mu }^{(\alpha )}-\Gamma _{\mu \nu }^{\rho }\lambda _{\rho }^{(\alpha )}+\hat{\Gamma }_{(\beta )\nu }^{(\alpha )}\lambda _{\mu }^{(\beta )}=0 ，标架场与标架仿射联络不独立。
因此，黎曼时空中的电子场、电磁场及引力场的运动才方程为：

(1)电子场运动方程：
: \left\{ \begin{align}
& i\hbar {{\gamma }^{\mu }}{{D}_{\mu }}\psi -mc\psi =0 \\
& i\hbar {{D}_{\mu }}\bar{\psi }{{\gamma }^{\mu }}+mc\bar{\psi }=0 \\
\end{align} \right.

(2)电磁场运动方程：
: {{D}_{\nu }}{{F}^{\mu \nu }}=-4\pi j_{e}^{\mu }

(3)引力场运动方程：
: {{R}^{\mu \nu }}-\frac{1}{2}{{g}^{\mu \nu }}R=\frac{8\pi G}{{{c}^{4}}}\left( P_{e}^{\nu \mu }+P_{\gamma }^{\nu \mu }-\frac{1}{2}D_{\sigma }^{{s}_{e}}^{(\alpha \beta )\sigma }\lambda _{(\alpha )}^{\nu }\lambda _{(\beta )}^{\mu } \right)

根据电子场运动方程得到能量-动量流运动方程为：
: {{D}_{\nu }}P_{e}^{\mu \nu }=-{F_{\rho }}^{\mu }j_{e}^{\rho }+\frac{1}{2}{{R}_{(\alpha \beta )\nu }}^{\mu }s_{e}^{(\alpha \beta )\nu }

根据引力场运动方程得到能量-动量流运动方程为：
: {{D}_{\nu }}P_{e}^{\mu \nu }=-{F_{\rho }}^{\mu }j_{e}^{\rho }-\frac{1}{4}{{R}_{(\alpha \beta )\nu }}^{\mu }{{s}_{e}}^{(\alpha \beta )\nu }
上述结果表明，从电子场运动方程得到的能量-动量流运动方程与从引力场运动方程得到的能量-动量流运动方程是不相容的。

有挠时空引力理论（愛因斯坦-嘉當理论）
在有挠时空中，标架场 \lambda _{\mu }^{(\alpha )}与标架仿射联络\hat{\Gamma }_{(\beta )\mu }^{(\alpha )} 是独立的，标架场\lambda _{\mu }^{(\alpha )} 描述时空的弯曲，标架仿射联络\hat{\Gamma }_{(\beta )\mu }^{(\alpha )} 描述时空的扭曲，并且有：
:{{D}_{\nu }}\lambda _{\mu }^{(\alpha )}={{\partial }_{\nu }}\lambda _{\mu }^{(\alpha )}-\Gamma _{\mu \nu }^{\rho }\lambda _{\rho }^{(\alpha )}+\hat{\Gamma }_{(\beta )\nu }^{(\alpha )}\lambda _{\mu }^{(\beta )}\ne 0
有挠时空中的引力场推广为引力-自旋场，因此简化形式的愛因斯坦-嘉當引力-自旋场的运动方程：

(1)电子场运动方程：
:\left\{ \begin{align}
& \frac{1}{2}\left( i\hbar {{\gamma }^{\mu }}D_{\mu }^\psi +i\hbar D_{\mu }^({{\gamma }^{\mu }}\psi ) \right)-mc\psi =0 \\
& \frac{1}{2}\left( i\hbar D_{\mu }^\bar{\psi }{{\gamma }^{\mu }}+i\hbar D_{\mu }^(\bar{\psi }{{\gamma }^{\mu }}) \right)+mc\bar{\psi }=0 \\
\end{align} \right.

(2)电磁场运动方程：
:D_{\nu }^{{F}^{\mu \nu }}=-4\pi j_{e}^{\mu }

(3)自旋场运动方程：
:D_{\nu }^{{R}^{(\alpha \beta )\mu \nu }}=\frac{8\pi \kappa }{{{c}^{4}}}\left( s_{e}^{(\alpha \beta )\mu }+s_{g}^{(\alpha \beta )\mu } \right)

(4)引力场运动方程：

a. 第一形式：
: D_{\nu }^{{Q}^{(\alpha )\mu \nu }}=\frac{16\pi G}{{{c}^{4}}}\left( P_{e}^{(\alpha )\mu }+P_{\gamma }^{(\alpha )\mu }+P_{f}^{(\alpha )\mu }-P_{g}^{(\alpha )\mu }-\frac{{{c}^{4}}}{16\pi G}\bar{\beta }\left( 2{{{\hat{R}}}^{\mu (\alpha )}}-\hat{R}{{\lambda }^{(\alpha )\mu }} \right) \right)

b. 第二形式：
:\bar{\beta }\left( R_{\nu }^{\mu }-\frac{1}{2}\delta _{\nu }^{\mu }R \right)\lambda _^{(\alpha )\nu }+\frac{1}{2}\beta D_{\nu }^{{\bar{K}}^{(\alpha )\mu \nu }}=\frac{8\pi G}{{{c}^{4}}}\left( P_{e}^{(\alpha )\mu }+P_{\gamma }^{(\alpha )\mu }+P_{f}^{(\alpha )\mu }-P_{gk}^{(\alpha )\mu } \right)

可以证明上述运动方程是相容的，因此有挠时空的愛因斯坦-嘉當引力-自旋场理论消除了爱因斯坦引力理论与狄拉克电子理论之间的矛盾。

应用
*解释宇宙加速膨胀
*解释先锋异常
*解释星系转动曲线
*预言带电物体周围的引力异常
*预言日月食的引力异常

參見
*ECT理论-牛顿引力理论

参考文献
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