開爾文環流定理

在流體動力學上，開爾文環流定理（，由第一代開爾文男爵威廉·湯姆森於1869年發表，因此以他命名）描述在徹體力保守的正壓理想流體中閉合曲線（包圍相同的流體元）的環量在流體運動時並不會隨時間而改變。其數學描述為

:\frac{\mathrm{D}\Gamma}{\mathrm{D}t} = 0

其中\Gamma為材料圍線C(t)的環流。用更簡單的話來說，這條定理所指的是，若觀察閉合圍線並注意它一段時間（注意所有流體元的運動）的話，則始終兩者間的環流相等。

本定理在有黏性應力、非保守徹體力（例如科里奥利力）或非正壓的壓力－密度關係的情況下並不成立。

數學證明
材料圍線C(t)的環流 \Gamma的定義為：

:\Gamma(t) = \oint_C \boldsymbol{u} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{s}

其中u為速度向量，ds為沿着閉合圍線的單元。

徹體力保守的非黏性流體的主宰方程式為

:\frac{\mathrm{D} \boldsymbol{u}}{\mathrm{D} t} = - \frac{1}{\rho}\boldsymbol{\nabla}p + \boldsymbol{\nabla} \Phi

其中D/Dt為實質導數，ρ為流體密度，p為密度，以及Φ為徹體力的勢。上式為帶徹體力的歐拉方程。

正壓性條件意味着密度是壓力的函數，且為其唯一自變量，即\rho=\rho(p)。

取環流的實質導數，得：
: \frac{\mathrm{D}\Gamma}{\mathrm{D} t} = \oint_C \frac{\mathrm{D} \boldsymbol{u}}{\mathrm{D}t} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{s} + \oint_C \boldsymbol{u} \cdot \frac{\mathrm{D} \mathrm{d}\boldsymbol{s}}{\mathrm{D}t}

把主宰方程式代入第一項並使用斯托克斯定理，得：
: \oint_C \frac{\mathrm{D} \boldsymbol{u}}{\mathrm{D}t} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{s} = \int_A \boldsymbol{\nabla} \times \left( -\frac{1}{\rho} \boldsymbol{\nabla} p + \boldsymbol{\nabla} \Phi \right) \cdot \boldsymbol{n} \, \mathrm{d}S = \int_A \frac{1}{\rho^2} \left( \boldsymbol{\nabla} \rho \times \boldsymbol{\nabla} p \right) \cdot \boldsymbol{n} \, \mathrm{d}S = 0.
最後的等式是源自\boldsymbol{\nabla} \rho \times \boldsymbol{\nabla} p=0，它是正壓性的結果。同時亦使用了任何函數f的梯度的旋度皆為零這一事實\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{\nabla} f=0。

已知材料線元的時間進化由下式給出（可由實質導數的定義求得）

:\frac{\mathrm{D} \mathrm{d}\boldsymbol{s}}{\mathrm{D}t} = \left( \mathrm{d}\boldsymbol{s} \cdot \boldsymbol{\nabla} \right) \boldsymbol{u}

因此

:\oint_C \boldsymbol{u} \cdot \frac{\mathrm{D} \mathrm{d}\boldsymbol{s}}{\mathrm{D}t} = \oint_C \boldsymbol{u} \cdot \left( \mathrm{d}\boldsymbol{s} \cdot \boldsymbol{\nabla} \right) \boldsymbol{u} = \frac{1}{2} \oint_C \boldsymbol{\nabla} \left( |\boldsymbol{u}|^2 \right) \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{s} = 0

使用交換律後再使用\boldsymbol{u}\cdot\nabla\boldsymbol{u}=\frac{1}{2}\nabla\left(|\boldsymbol{u}|^2\right)。而最後的等式則使用了斯托克斯定理。

由於第一項及第二項皆為零，得
:\frac{\mathrm{D}\Gamma}{\mathrm{D}t} = 0

参见

• 亥姆霍兹定理 (流体力学)

參考資料