本构方程（constitutive equation）是描述介质或场的两个或多个物理量性质的方程，常涉及与运动学量相关的动理学量；此类反映介质或场特定性质的关系与数学模型，称为本构关系（constitutive relation），其近似地描述了物理量对外部刺激（通常为施加的场或力）的响应。在字面上，“本” 是物理量的本质属性，“构” 是对于物理量受刺激产生响应的构建。
在電磁學的宏观馬克士威方程組应用中，必須分別找到\mathbf{D}場與\mathbf{E}場之間，和\mathbf{H}場與\mathbf{B}場之間的關係。這些稱為本構關係的物理性質，設定了束縛電荷和束縛電流對於外場的響應。它們實際地對應於，一個物質響應外場作用而產生的電極化或磁化。
本構關係式的基礎建立於\mathbf{D}場與\mathbf{H}場的定義式：
:\mathbf{D}(\mathbf{r}, t)\ \stackrel{def}{=}\ \epsilon_0 \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) + \mathbf{P}(\mathbf{r}, t)、
:\mathbf{H}(\mathbf{r}, t)\ \stackrel{def}{=}\ \frac{1}{\mu_0} \mathbf{B}(\mathbf{r}, t) - \mathbf{M}(\mathbf{r}, t)；
其中，\mathbf{P}是電極化強度，\mathbf{M}是磁化強度。
本構關係式的一般形式為
:\mathbf{D}=\mathbf{D}(\mathbf{E}, \mathbf{B})、
:\mathbf{H}=\mathbf{H}(\mathbf{E}, \mathbf{B})。
在解釋怎樣計算電極化強度與磁化強度之前，最好先檢視一些特別案例。
自由空間案例
假設，在自由空間（即理想真空）裏，就不用考慮介電質和磁化物質，本構關係式變得很簡單：
:\mathbf{D} = \varepsilon_0\mathbf{E}、
:\mathbf{H} = \mathbf{B}/\mu_0。
將這些本構關係式代入宏观馬克士威方程組，則得到的方程組很像微觀馬克士威方程組，當然，在得到的高斯定律方程式和馬克士威-安培方程式內，總電荷密度和總電流密度分別被自由電荷密度和自由電流密度替代。這符合期待的結果，因為，在自由空間裏，沒有束縛電荷、束縛電流和極化電流。
線性物質案例
對於線性、各向同性物質，本構關係式也很直接：
:\mathbf{D} = \varepsilon\mathbf{E}、
:\mathbf{H} = \mathbf{B}/\mu；
其中，\varepsilon是物質的電容率，\mu是物質的磁導率。
將這些本構關係式代入宏观馬克士威方程組，可以得到方程組
除非這物質是均勻物質，不能從微分式或積分式內提出電容率和磁導率。通量\Phi_{\varepsilon\mathbf{E}}的方程式為
:\Phi_{\varepsilon\mathbf{E}}=\iint_{\mathbb{S}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset\varepsilon\mathbf{E} \cdot\mathrm{d}\mathbf{s}。
這方程組很像微觀馬克士威方程組，當然，在得到的高斯定律方程式和馬克士威-安培方程式內，自由空間的電容率和磁導率分別被物質的電容率和磁導率替代；還有，總電荷密度和總電流密度分別被自由電荷密度和自由電流密度替代。這符合期待的結果，因為，在均勻物質內部，沒有束縛電荷、束縛電流和極化電流，雖然由於不連續性，可能在表面會有面束縛電荷、面束縛電流或面極化電流。
一般案例
對於實際物質，本構關係並不是簡單的線性關係，而是只能近似為簡單的線性關係。從\mathbf{D}場與\mathbf{H}場的定義式開始，要找到本構關係式，必需先知道電極化強度和磁化強度是怎樣從電場和磁場產生的。這可能是由實驗得到（建立於直接測量），或由推論得到（建立於統計力學、傳輸力學（）或其它凝聚態物理學的理論）。所涉及的細節可能是宏观或微觀的。這都要視問題的層級而定。
雖然如此，本構關係式通常仍舊可以寫為
:\mathbf{D} = \varepsilon\mathbf{E}、
:\mathbf{H} = \mathbf{B}/\mu。
不同的是，\varepsilon和\mu不再是簡單常數，而是函數。例如，
*色散或吸收：\varepsilon和\mu是頻率的函數。因果論不允許物質具有非色散性，例如，克拉莫-克若尼關係式。場與場之間的相位可能不同相，這導致\varepsilon和\mu為複值，也導致電磁波被物質吸收。和波克斯效應（）。
*各向異性：例如，雙折射或二向色性（）。\varepsilon和\mu都是二階張量：
::\mathbf{D}=\epsilon \mathbf{E}+\xi \mathbf{H}、
::\mathbf{B}= \mu \mathbf{H} + \zeta \mathbf{E}；
:其中，\xi與\zeta是耦合常數，每一種介質的内禀常數。
:在雙耦合各向異性物質裏，\mathbf{D}場與\mathbf{H}場分別各向異性地耦合於\mathbf{E}場與\mathbf{B}場，係數\epsilon、\mu、\xi、\zeta都是張量。
*在不同位置和時間，\mathbf{P}場與\mathbf{M}場分別跟\mathbf{E}場、\mathbf{B}場有關：這可能是因為「空間不勻性」。例如，一個磁鐵的域結構、異質結構或液晶，或最常出現的狀況是多種材料占有不同空間區域。這也可能是因為隨時間而改變的物質或磁滯現象。對於這種狀況，\mathbf{P}場與\mathbf{M}場計算為。當激發波長超大於非均質性的尺度時，這方法正確無誤。
理論得到的答案必須符合實驗測量的數據。許多真實物質的連續近似性質，是靠著實驗測量而得到的。例如，應用橢圓偏振技術得到的薄膜的介電性質。
參考文獻
物質內的電場和磁場
评论 (0)