达朗贝尔方程

在经典电动力学中，将描述电磁波的势所满足的一个微分方程组称作达朗贝尔方程（英文：d'Alembert equation）。达朗贝尔方程以数学家让·勒朗·达朗贝尔的名字命名，他于 1747 年将其作为振动弦问题的解决方案推导出来。

达朗贝尔方程是一个的波动方程。

形式
达朗贝尔方程的形式如下：
:\boldsymbol{\nabla}^{2}\boldsymbol{A}-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\boldsymbol{A}}{\partial t^{2}}=-\mu_{0}\boldsymbol{J}
:\boldsymbol{\nabla}^{2}\varphi-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial t^{2}}=-\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}

其中\boldsymbol{A}为磁矢势，\varphi为电势，c为真空光速。

推导
经典电动力学中的麦克斯韦方程组如下所示
:\boldsymbol{\nabla}\times \boldsymbol{E}=-\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}
:\boldsymbol{\nabla}\times \boldsymbol{H}=\frac{\partial\boldsymbol{D}}{\partial t}+\boldsymbol{J}
:\boldsymbol{\nabla}\cdot \boldsymbol{D}=\rho
:\boldsymbol{\nabla}\cdot \boldsymbol{B}=0

且有\boldsymbol{D}=\varepsilon_{0}\boldsymbol{E}, \boldsymbol{B}=\mu_{0}\boldsymbol{H}。

由\boldsymbol{B}的无源性可以引入磁矢势\boldsymbol{A}，有\boldsymbol{B}=\boldsymbol{\nabla}\times \boldsymbol{A}，代入麦克斯韦方程组的第一式得\boldsymbol{\nabla}\times \left(\boldsymbol{E}+\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}\right)=0。这说明矢量\boldsymbol{E}+\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}是无旋场，可以用标量势\varphi的负梯度描述：
:\boldsymbol{E}+\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}=-\boldsymbol{\nabla}\varphi

也即\boldsymbol{E}=-\boldsymbol{\nabla}\varphi-\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}。

因此
:\boldsymbol{\nabla}\times\left(\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{A}\right)=\mu_{0}\boldsymbol{J}-\mu_{0}\varepsilon_{0}\frac{\partial}{\partial t}\left(\boldsymbol{\nabla}\varphi\right)-\mu_{0}\varepsilon_{0}\frac{\partial^{2}\boldsymbol{A}}{\partial t^{2}}
:-\boldsymbol{\nabla}^{2}\varphi-\frac{\partial}{\partial t}\left(\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A}\right)=\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}

而\mu_{0}\varepsilon_{0}=\frac{1}{c^2}，代入并整理得
:\boldsymbol{\nabla}^{2}\boldsymbol{A}-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\boldsymbol{A}}{\partial t^{2}}-\boldsymbol{\nabla}\left(\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A}+\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial\varphi}{\partial t}\right)=-\mu_{0}\boldsymbol{J}
:\boldsymbol{\nabla}^{2}\varphi+\frac{\partial}{\partial t}\left(\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A}\right)=-\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}

采用洛伦茨规范，即\boldsymbol{\nabla}\cdot \boldsymbol{A}+\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial\varphi}{\partial t}=0，可得
:\boldsymbol{\nabla}^{2}\boldsymbol{A}-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\boldsymbol{A}}{\partial t^{2}}=-\mu_{0}\boldsymbol{J}
:\boldsymbol{\nabla}^{2}\varphi-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial t^{2}}=-\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}

此即达朗贝尔方程，其自由项为电流密度和电荷密度。

参考资料