功

功（work，W）狭义上指力学功、机械功，是物理学中描述力对物体位移所累积的物理量，定义为：力与位移的内积，即 W = \vec{F}\cdot \vec{s}。

详言之，力学功是“作用在物体上的外力与该力作用点位移的内积”；因此，对于受多个外力作用的物体，总功（total work）是所有外力做功的代数和，即总功等于所有外力对各自作用点做功之和；而总功又可拆分为平动功和转动功两部分。

功的广义定义为：在系统边界上，除了「温差驱动的热传递」之外，所有跨越边界的能量流，即 W = \Delta E（此定义限于以有序方式进行的能量转移或转化，而排除了无序的能量流动Q，即 Q=0）。因此，不论是传统的力学功或是热力功，做功是实现能量传递或转换的有序机制。

与力学能或任何能量相似的是，功的单位与能相同，且同属于标量，意味著有多少能量被轉移或转化，国际单位制单位为焦耳。在简化的情况下，当仅有一个外力作用在物体上，并且物体在该力的方向上发生位移时，该力即对物体做功；外力与位移同向为正功，反向为负功，垂直则为零功，即不做功。

简介
“功”一词最初是法国数学家贾斯帕-古斯塔夫·科里奥利创造的。

由动能定理，若一个外力作用于一物体使之动能从Ek0增至Ek，那么，此力所做的机械功为：

: W = \Delta E_{\rm k} = E_{\rm k} - E_{\mathrm k0} = \tfrac12 m (v^2 - v_0^2) \,\!

其中m是物体的质量，v是物体的速度。

机械功就是力与位移的內積：

: W = \vec{F}\cdot \vec{s}

若力与位移的夹角小于直角，则机械功为正，亦称为力作正功。若力与位移的夹角大于直角，则机械功为负，或力做负功，或物体克服力作功。

若力的方向与位移方向垂直，则此力不作功：

:W=\Delta E_{\rm k}=\tfrac12mv_2^2-\tfrac12mv_1^2,

v_1 和 v_2分別是質點的初速度和末速度，m則是質量。

概述
功與能的原理由牛頓第二運動定律推導，其中包括作用在質點上的合力和約束反力對質點造成的位移量。

对于匀变速直线运动的情形，推导如下式。
:W = Fs = mas = ma \left(\frac{v_2^2 - v_1^2}{2a}\right) = \frac{mv_2^2}{2} - \frac{mv_1^2}{2} = \Delta {E_k}，s = \frac{v_2^2 - v_1^2}{2a}，v_2^2 = v_1^2 + 2as

一般情况下的推导则如下式。
:W = \int_{t_1}^{t_2} \mathbf{F}\cdot \mathbf{v}dt = \int_{t_1}^{t_2} F \,v dt = \int_{t_1}^{t_2} ma \,v dt = m \int_{t_1}^{t_2} v \,{dv \over dt}\,dt = m \int_{v_1}^{v_2} v\,dv = \tfrac12 m (v_2^2 - v_1^2) 。

注释
参考
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