瓦特曲線

瓦特曲線是指一個六次方程的平面代數曲線，也是。是由二個半徑為b ，圓心之間距離為2a（分別在(±a, 0)）的圓所產生，一個長為2c的線段，兩端點分別在二圓上，其線段中間的軌跡即為瓦特曲線，此曲線和詹姆斯·瓦特在蒸汽機上的貢獻有關。

瓦特曲線的方程式可以寫為以下的极坐标系方程
:r^2=b^2-\left[a\sin\theta\pm\sqrt{c^2-a^2\cos^2\theta}\right]^2.

推導
极坐标系
极坐标系方程可以用下式推導：
在複數平面上，令二圓的圓心為a和−a，二圓連線的端點為−a+bei λ和a+bei ρ。令線段相對水平線的斜角ψ，其中點為rei θ，則二端點也可表示為rei θ ± cei ψ。二端點的二種表示式可得：
:a+be^{i\rho}=re^{i\theta}+ce^{i\psi}.\,
:-a+be^{i\lambda}=re^{i\theta}-ce^{i\psi}\,
二式相加再除二可得
:re^{i\theta}=\tfrac{b}{2}(e^{i\rho}+e^{i\lambda})=b\cos(\tfrac{\rho-\lambda}{2})e^{i\tfrac{\rho+\lambda}{2}}.
比較半徑及幅角可得
:r=b\cos\alpha,\ \theta=\tfrac{\rho+\lambda}{2}\ \mbox{where}\ \alpha=\tfrac{\rho-\lambda}{2}.
一開始的二式相減再除二可得
:ce^{i\psi}-a=\tfrac{b}{2}(e^{i\rho}-e^{i\lambda})=i b\sin\alpha e^{i\theta}.
將a以下式表示
:a=a\cos\theta\ e^{i\theta} - i a\sin\theta\ e^{i\theta}.\,
因此
:ce^{i\psi}=i b\sin\alpha e^{i\theta}+a\cos\theta\ e^{i\theta} - i a\sin\theta\ e^{i\theta}=(a\cos\theta\ +i(b\sin\alpha-a\sin\theta))e^{i\theta},
:c^2=a^2\cos^2\theta+(b\sin\alpha-a\sin\theta)^2,\,
:b\sin\alpha=a\sin\theta\pm\sqrt{c^2-a^2\cos^2\theta},\,
:r^2=b^2\cos^2\alpha=b^2-b^2\sin^2\alpha=b^2-\left[a\sin\theta\pm\sqrt{c^2-a^2\cos^2\theta}\right]^2.,\,

直角座標系
將極座標方式展開可得
:r^2=b^2-(a^2\sin^2\theta\ + c^2-a^2\cos^2\theta \pm 2a\sin\theta\sqrt{c^2-a^2\cos^2\theta}),\,
:r^2-a^2-b^2+c^2+2a^2\sin^2\theta=\pm 2a\sin\theta\sqrt{c^2-a^2\cos^2\theta}),\,
:(r^2-a^2-b^2+c^2)^2+4a^2(r^2-a^2-b^2+c^2)\sin^2\theta+4a^4\sin^4\theta=4a^2\sin^2\theta(c^2-a^2\cos^2\theta),\,
:(r^2-a^2-b^2+c^2)^2+4a^2(r^2-b^2)\sin^2\theta=0,\,
:(x^2+y^2)(x^2+y^2-a^2-b^2+c^2)^2+4a^2y^2(x^2+y^2-b^2)=0.\,
令d 2=a2+b2–c2 因此可簡化上式為:(x^2+y^2)(x^2+y^2-d^2)^2+4a^2y^2(x^2+y^2-b^2)=0.\,

瓦特連桿
當曲線通過原點時，原點為拐點，因此有3階接觸切線。不過若a2=b2+c2，則有5階接觸切線，換句話說此曲線相當接近直線，這就是可以作為直線運動機構的原理。

相關條目

• 平面四杆机构

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參考資料
外部連結
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• [http://www.mathcurve.com/courbes2d/watt/watt.shtml "Courbe de Watt" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables] (in French)

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