對數平均溫差

對數平均溫差（logarithmic mean temperature difference）簡稱為LMTD，是在传热流體系統（例如熱交換器中）用來分析溫度推動力的工具。對數平均溫差是在雙管換熱器中冷端及熱端溫度差的對數平均。對數平均溫差越大，表示传热量越大。在分析固定流速及流體熱力學性質的熱交換器時，就會出現對數平均溫差。

定義
先假設有一個泛用的熱交換器，其二端（稱為A及B）分別有熱蒸氣及冷蒸氣進出，對數平均溫差定義為以下的對數平均：

:LMTD
=\frac{\Delta T_A - \Delta T_B}{\ln \left( \frac{\Delta T_A}{\Delta T_B} \right ) }
=\frac{\Delta T_A - \Delta T_B}{\ln \Delta T_A - \ln \Delta T_B}

其中
:ΔTA是熱蒸氣及冷蒸氣在A端的溫度差。
: ΔTB是熱蒸氣及冷蒸氣在B端的溫度差。

依此定義，LMTD可以用來推算熱交換器所傳遞的熱

: Q = U \times Ar \times LMTD

其中
:Q是傳遞的熱（單位 J）
:U為传热系数（單位 J/ K m2）
:Ar為熱交換面積

不過传热系数的估算可能相當的複雜。

若熱交換器是並流（熱蒸氣及冷蒸氣平行，都從某一側進，從另一側出）或是逆流（熱蒸氣及冷蒸氣平行，但各由一側進，從另一側出），以上的式子都會成立。

若是交叉流（cross-flow）熱交換器，也就是熱交換器中有散熱片，上面的溫度接近定值，其熱交換量和LMTD也會有類似的關係，不過會出現修正係數。若是結構比較複雜的熱交換器（例如），也會有修正係數。

推導
假設熱傳導是在沿著z軸上，從A點到B點的熱交換器上進行，熱傳導是在二種流體之間交換能量，分別標示為1和2，沿著z軸的熱量分別是T1(z)和 T2(z)。

沿著z上的局部交換熱通量和其溫度差成正比：

: q(z) = U (T_2(z)-T_1(z))/D = U (\Delta\;T(z))/D

其中D為二流體之間的距離。

流體釋放的熱會依傅立葉定律產生溫度梯度：

::\frac{\mathrm{d}\,T_1}{\mathrm{d}\,z}=k_a (T_1(z)-T_2(z))=-k_a\,\Delta T(z)
::\frac{\mathrm{d}\,T_2}{\mathrm{d}\,z}=k_b (T_2(z)-T_1(z))=k_b\,\Delta T(z)
相減後，可得

:\frac{\mathrm{d}\,\Delta T}{\mathrm{d}\,z}=\frac{\mathrm{d}\,(T_2-T_1)}{\mathrm{d}\,z}=\frac{\mathrm{d}\,T_2}{\mathrm{d}\,z}-\frac{\mathrm{d}\,T_1}{\mathrm{d}\,z}=K\Delta T(z)
where K=ka+kb.

交換的總能量可以由A點到B點的局部熱交換量q積分而得：

: Q = \int^{B}_{A} q(z) dz = \frac{U}{D} \int^{B}_{A} \Delta T(z) dz = \frac{U}{D} \int^{B}_{A} \Delta T \,dz

熱交換面積Ar為管長A-B乘以二管間的距離D：

: Q = \frac{U Ar}{(B-A)} \int^{B}_{A} \Delta T \,dz = \frac{U Ar \int^{B}_{A} \Delta T \,dz}{\int^{B}_{A} \,dz}

二個積分都作變數變換，積分變數由z改為Δ T：

: Q = \frac{U Ar \int^{\Delta T(B)}_{\Delta T(A)} \Delta T \frac{\mathrm{d}\,z}{\mathrm{d}\,\Delta T}\,d(\Delta T)}{\int^{\Delta T(B)}_{\Delta T(A)} \frac{\mathrm{d}\,z}{\mathrm{d}\,\Delta T}\,d(\Delta T)}

配合上述Δ T的關係，可得：

: Q = \frac{U Ar \int^{\Delta T(B)}_{\Delta T(A)} \frac{1}{K}\,d(\Delta T)}{\int^{\Delta T(B)}_{\Delta T(A)} \frac{1}{K \Delta T}\,d(\Delta T)}

積分的結果如下：

: Q = U \times Ar \times \frac{\Delta T(B)-\Delta T(A)}{\ln [ \Delta T(B) / \Delta T(A) ]} ,

也就是對數平均溫差的定義。

假設及限制

• 假設二流體溫度的變化率和其溫差成正比，這對固定比熱的流體有效，流體的溫度變化若在一個較小的範圍，此假設成立，不過若比熱有變化，用計算對數平均溫差計算的熱交換量就不準了。
• LMTD不適用在冷凝器及中，其中包括了相變化及其潛熱，因此假設無效。
• 假設熱傳係數U為定值，和溫度無關，若熱傳係數和溫度有關，計算的準確度也會下降。
• LMTD是一個穩態的概念，不適用在暫態的分析。特別若LMTD應用在暫態中，其時間較短，熱交換器的二邊溫度梯度的符號相反，對數的引數會出現負值，這也是不允許的。

相關條目
*NTU法

參考資料
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