系统F

系统F，也叫做多态lambda演算或二阶lambda演算，是有类型lambda演算。它由逻辑学家和计算机科学家独立发现的。系统F形式化了编程语言中的参数多态的概念。

正如同lambda演算有取值于（range over）函数的变量，和来自它们的粘合子（binder）；二阶lambda演算取值自类型，和来自它们的粘合子。

作为一个例子，恒等函数有形如A→ A的任何类型的事实可以在系统F中被形式化为判断

:\vdash \Lambda\alpha. \lambda x^\alpha.x: \forall\alpha.\alpha \to \alpha

这里的α是。

在Curry-Howard同构下，系统F对应于二阶逻辑。

系统F，和甚至更加有表达力的lambda演算一起，可被看作Lambda立方体的一部分。

逻辑和谓词
布尔类型被定义为：
\forall\alpha.\alpha \to \alpha \to \alpha，这里的α是类型变量。这产生了下列对布尔值TRUE和FALSE的两个定义：

: TRUE := \Lambda \alpha.\lambda x^\alpha \lambda y^\alpha.x
: FALSE := \Lambda \alpha.\lambda x^\alpha \lambda y^\alpha.y

接着，通过这两个λ-项，我们可以定义一些逻辑算子：
: AND := \lambda x^{Boolean} \lambda y^{Boolean}.((x (Boolean)) y) FALSE
: OR := \lambda x^{Boolean} \lambda y^{Boolean}.((x (Boolean)) TRUE) y
: NOT := \lambda x^{Boolean}. ((x (Boolean)) FALSE) TRUE

实际上不需要IFTHENELSE函数，因为你可以只使用原始布尔类型的项作为判定（decision）函数。但是如果需要一个的话：
: IFTHENELSE := \Lambda \alpha.\lambda x^{Boolean}\lambda y^{\alpha}\lambda z^{\alpha}.((x (\alpha)) y) z

谓词是返回布尔值的函数。最基本的谓词是ISZERO，它返回TRUE当且仅当它的参数是邱奇数 0:
: ISZERO := λ n. n (λ x. FALSE) TRUE

系统F结构
系统F允许以同Martin-Löf类型论有关的自然的方式嵌入递归构造。抽象结构（S）是使用构造子建立的。有函数被定类型为：
:K_1\rightarrow K_2\rightarrow\dots\rightarrow S

当S自身出现类型K_i中的一个内的时候递归就出现了。如果你有m个这种构造子，你可以定义S为：
:\forall \alpha.(K_1^1[\alpha/S]\rightarrow\dots\rightarrow \alpha)\dots\rightarrow(K_1^m[\alpha/S]\rightarrow\dots\rightarrow \alpha)\rightarrow \alpha

例如，自然数可以被定义为使用构造子的归纳数据类型N
:\mathit{zero} : \mathrm{N}
:\mathit{succ} : \mathrm{N} \to \mathrm{N}
对应于这个结构的系统F类型是
\forall \alpha. \alpha \to (\alpha \to \alpha) \to \alpha。这个类型的项由有类型版本的邱奇数构成，前几个是：
: 0 := \Lambda \alpha . \lambda x^\alpha . \lambda f^{\alpha\to\alpha} . x
: 1 := \Lambda \alpha . \lambda x^\alpha . \lambda f^{\alpha\to\alpha} . f x
: 2 := \Lambda \alpha . \lambda x^\alpha . \lambda f^{\alpha\to\alpha} . f (f x)
: 3 := \Lambda \alpha . \lambda x^\alpha . \lambda f^{\alpha\to\alpha} . f (f (f x))

如果我们反转curried参数的次序（比如\forall \alpha.(\alpha \to \alpha)\to \alpha \to \alpha），则n的邱奇数是接受函数f作为参数并返回f的n次幂的函数。就是说，邱奇数是一个高阶函数 -- 它接受一个单一参数函数f，并返回另一个单一参数函数。

用在编程语言中
本文用的系统F版本是显式类型的，或邱奇风格的演算。包含在λ-项内的类型信息使类型检查直接了当。Joe Wells（1994）设立了一个"难为人的公开问题"，证明系统 F的Curry-风格的变体是不可判定的，它缺乏明显的类型提示。[https://web.archive.org/web/20041209225820/http://www.cee.hw.ac.uk/~jbw/research-summary.html] [https://web.archive.org/web/20070216230916/http://www.church-project.org/reports/Wells:APAL-1999-v98-no-note.html]

Wells的结果暗含着系统F的类型推论是不可能的。一个限制版本的系统F叫做"Hindley-Milner"，或简称"HM"，有一个容易的类型推论算法，并用于了很多强类型的函数式编程语言，比如Haskell和ML。

参考文献

• Girard, Lafont and Taylor, 1997. [https://web.archive.org/web/20070204104752/http://www.cs.man.ac.uk/~pt/stable/prot.pdf Proofs and Types]. Cambridge University Press.
• J. B. Wells. "Typability and type checking in the second-order lambda-calculus are equivalent and undecidable." In Proceedings of the 9th Annual IEEE Symposium on Logic in Computer Science (LICS), pages 176-185, 1994. [http://www.macs.hw.ac.uk/~jbw/papers/Wells:Typability-and-Type-Checking-in-the-Second-Order-Lambda-Calculus-Are-Equivalent-and-Undecidable:LICS-1994.ps.gz]

外部链接
*[http://www.site.uottawa.ca/~fbinard/Intuitionism/TypeTheory/SystemF/ Summary of System F] by Franck Binard.